Négyzetszámok

A számelméletben négyzetszámon vagy teljes négyzeten (teljes második hatványon) olyan egész számot értenek, amely felírható valamely egész szám négyzeteként, más szóval egy egész szám önmagával vett szorzataként, második hatványaként. Más, kézenfekvő meghatározás szerint egy egész szám pontosan akkor négyzetszám, ha négyzetgyöke (létezik, és) egész. Tágabb értelemben véve négyzetszámnak számít az a törtszám is, amelynek négyzetgyöke racionális.

A szorzás definíciója alapján egy természetes szám négyzetre emelése azt jelenti, hogy a számot annyiszor adjuk össze, amennyi saját maga. Például 4 + 4 + 4 + 4 = 16.

Négyzetszám például a 9, mert 3 × 3 = 9. (A négyzetre emelés jelölésére az n × n helyett általában a szokott hatványos jelölést alkalmazzák: n², melynek kiejtése „n négyzet” vagy „n a másodikon”.) Tágabb értelmezés szerint négyzetszám az ${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$ is, mivel négyzetgyöke ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$, ami racionális. Egyébként négyzetszám (a tágabb értelmezés szerint értelmezve) minden olyan törtszám, amelynek számlálója és nevezője is négyzetszám.

Figurális szám: az m szám pontosan akkor négyzetszám, ha m pont elrendezhető négyzet alakban:

1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 9
4^2 = 16
5^2 = 25

Valamely n nemnegatív egészre az n-edik négyzetszám az n², így 0² = 0 a nulladik négyzetszám. A 0-tól m-ig pontosan ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor }$ négyzetszám van (a szögletes zárójel az (alsó) egészrészt jelöli). Minden négyzetszám nemnegatív.

Példák

Az első 51 nem negatív egész szám négyzete a következő (A000290 sorozat az OEIS-ben):

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

Tulajdonságok

Az n-edik négyzetszám képlete n², ami megegyezik az első n páratlan szám összegével:

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)}$

amit a fenti képek is szemléltetnek, hiszen a következő négyzet mindig páratlan számú pont hozzáadásával jön létre.

Két szomszédos négyzetszám különbsége mindig páratlan, még pontosabban: a négyzetszámok sorozatának különbségsorozata Δn² = 2n+1, mivel 2n+1 = (n+1)^2 - n^2, vagyis az n+1. és az n. négyzetszám különbsége (az n. és n-1. négyzetszám különbsége 2n-1).

A négyzetszámok összegsorozata – az első n pozitív négyzetszám összege ${\displaystyle S_{n^{2}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}};}$ Ez teljes indukcióval könnyen belátható.

X darab négyzetszám szorzata is négyzetszám, ez könnyen belátható: a négyzetszámok felírhatók a*a, b*b, c*c, … alakban. Például 2 négyzetszámnál: a*a és b*b alakban felírhatók a négyzetszámok. Ezt csoportosíthatjuk (a*b)*(a*b) alakba, mely négyzetszám. 3 négyzetszámnál ugyanez igaz: a*a, b*b és c*c. Ezek csoportosíthatók (a*b*c)*(a*b*c) alakba. Már be is láttuk, hogy négyzetszám. Továbbá: a*a*b*b négyzetszám. Ezt a négyzetszámot c*c-vel szorozzuk, tehát, mivel négyzetszámot szorzunk négyzetszámmal, beláthatjuk, hogy 3 négyzetszám szorzata is négyzetszám. Ez akárhány négyzetszámra igaz, tehát x darab négyzetszám szorzata négyzetszám.

Az n. négyzetszám kiszámítható az előző kettőből a következőképpen:

n² = 2(n ‒ 1)² ‒ (n ‒ 2)² + 2

Gyakran jól használható az a tény, hogy minden szám négyzete felírható a következő alakban is:

1 + 1 + 2 + 2 + … + (n ‒ 1) + (n ‒ 1) + n

Például a 4 esetében:

4² = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16

Ezt felhasználva könnyen meghatározható viszonylag nagy számok négyzete. Például 52 négyzete a következőképpen:

52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

Egy szám négyzetének meghatározására egy másik trükk a következő azonosságra alapul:

(x ‒ y)(x + y) = x² ‒ y²

Például 21² = 22×20 + 1 = 440 + 1² = 441.

Minden négyzetszám két egymást követő háromszögszám összege. Két egymást követő négyzetszám összege középpontos négyzetszám. Minden páratlan négyzetszám középpontos nyolcszögszám.

A Lagrange-féle négy négyzet tétel szerint minden pozitív egész felírható legfeljebb 4 négyzetszám összegeként. Három négyzetszám nem elegendő a 4^k(8m + 7) alakú számokhoz. Valamely pozitív egész pontosan akkor áll elő két négyzetszám összegeként, ha a kanonikus alakja nem tartalmaz 4k + 3 alakú prímet páratlan hatványon.

Tízes számrendszerben a négyzetszámok a következő végződésűek lehetnek: 00, 1, 4, 6, 9 vagy 25 a következő szabályok szerint:

• Ha a szám utolsó számjegye 0, akkor a négyzete 00 végződésű és az azt megelőző számjegyek is négyzetszámot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 1 vagy 9, akkor a négyzete 1-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztható számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 2 vagy 8, akkor a négyzete 4-re végződik és az azt megelőző számjegyek páros számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 3 vagy 7, akkor a négyzete 9-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztható számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 4 vagy 6, akkor a négyzete 6-ra végződik és az azt megelőző számjegyek páratlan számot alkotnak.
• Ha a szám utolsó számjegye 5, akkor a négyzete 25-re végződik, és az azt megelőző számjegyek téglalapszámot alkotnak.

Négyzetszám nem lehet tökéletes szám.

Páros és páratlan négyzetszámok

Páros számok négyzete páros, mivel (2n)² = 4n².

Páratlan számok négyzete páratlan, mivel (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Ebből következik az is, hogy páros négyzetszámok négyzetgyöke páros, páratlanoké páratlan.

Chen-tétel

1975-ben bizonyította Chen Jingrun, hogy két egymást követő négyzetszám n² és (n + 1)² között mindig létezik egy olyan P, amely vagy prímszám vagy félprím. (Lásd még Legendre-sejtés.)

Kapcsolódó szócikkek

• teljes hatvány
• sokszögszámok
• köbszámok
• Számok előállítása négyzetösszegként, Pitagoraszi számhármasok
• négyzetmentes számok
• négyzetteljes számok

Hivatkozások

• Weisstein, Eric W.: Négyzetszámok (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Irodalom

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

Külső hivatkozások

• Dario Alpern, Java applet, amely természetes számokat tud lebontani legfeljebb négy négyzetszám összegére.