Lipschitz-féle konvergenciakritérium

A Lipschitz-féle kritérium a valós analízis egyik konvergenciakritériuma, a Dini-féle konvergenciakritérium speciális esete. Legyen ${\displaystyle f}$ egy valós függvény, és legyen ${\displaystyle \varphi _{x}(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x)}$. Ha valamely ${\displaystyle x}$-re a ${\displaystyle t=0}$ kis környezetében

${\displaystyle \vert \varphi _{x}(t)\vert \leq c\vert {t}\vert ^{\alpha }\qquad \left(0<\alpha \leq 1\right)}$,

akkor ${\displaystyle s_{n}(x)\rightarrow f(x).}$
Ha az ${\displaystyle f(x)}$ függvénynek az ${\displaystyle x}$ pontban a jobb és bal oldali határértékei léteznek, akkor a Dini-kritérium teljesülésének nyilván szükséges feltétele, hogy az ${\displaystyle x}$ pontban a függvény értéke e két határérték számtani közepe legyen:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\left[f(x+0)+f(x-0)\right].}$

Ha ez igaz, akkor a Lipschitz-kritérium ${\displaystyle \alpha =1}$ kitevő esetén így írható:

${\displaystyle \left|{\frac {f(x+t)-f(x+0)}{t}}+{\frac {f(x-t)-f(x-0)}{t}}\right|<c.}$

ez a feltétel pedig biztosan teljesül, ha a

${\displaystyle \lim _{t->+0}{\frac {f(x+t)-f(x+0)}{t}},\qquad \lim _{t->+0}{\frac {f(x-t)-f(x-0)}{t}}}$

határértékek léteznek. Érvényes tehát a következő állítás: Az ${\displaystyle f(x)}$ függvény Fourier-sora minden olyan ${\displaystyle x}$ helyen az

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[f(x+0)+f(x-0)\right]}$

értékhez tart, amelyben az ${\displaystyle f(x+0),\ f(x-0)}$ és a fenti határértékek léteznek.
Speciálisan: Az ${\displaystyle f(x)}$ függvény Fourier-sora minden olyan helyen ${\displaystyle f(x)}$-hez tart, ahol ${\displaystyle f(x)}$ differenciálható.

Források

• Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).