Az 1912-es Nemzetközi Matematikai Kongresszuson Edmund Landau négy egyszerű, prímszámokkal kapcsolatos problémát vázolt föl. Beszédében ezeket a problémákat úgy jellemezte, mint amelyekkel az akkori tudomány nem képes mit kezdeni („unattackable at the present state of science”) és attól kezdve Landau-féle problémák néven ismeretesek. A Landau-problémák a következők:
Jelenleg (2016) mind a négy probléma megoldatlan.
A Vinogradov-tétel igazolja a gyenge Goldbach-sejtést kellően nagy n-ekre. 2013-ban Harald Helfgott bizonyította a gyenge sejtést minden 5-nél nagyobb páratlan számra.[1][2][3]
A Chen-tétel kimondja, hogy kellően nagy n-re 2 n = p + q {\displaystyle 2n=p+q} , ahol p prím, q pedig prím vagy félprím. Montgomery és Vaughan megmutatták, hogy a kivételhalmaz (két prímszám összegével nem kifejezhető páros számok) természetes sűrűsége zéró.[4]
Tomohiro Yamada igazolta a Chen-tétel egy explicit változatát,[5] mely szerint minden e e 36 ≈ 1 , 7 ⋅ 10 1872344071119348 {\displaystyle e^{e^{36}}\approx 1,7\cdot 10^{1872344071119348}} páros szám felírható egy prím és egy prím vagy félprím összegeként.
Yitang Zhang[6] megmutatta, hogy végtelen sok, egymástól legfeljebb 70 millió távolságra lévő prímpáros létezik, ezt az eredményt matematikusok összehangolt munkájával sikerült 246-os prímhézagra javítani.[7] Ha az általánosított Elliott–Halberstam-sejtés igaz, a prímhézagot 6-ra sikerült javítani, kiterjesztve Maynard,[8] valamint Goldston, Pintz & Yıldırım korábbi munkáit.[9]
Chen megmutatta, hogy végtelen sok olyan p prím (későbbi nevükön Chen-prímek) létezik, melyekre p+2 prím vagy félprím.
Elegendő azt vizsgálni, hogy a p-vel kezdődő prímszámhézag kisebb-e, mint 2 p {\displaystyle 2{\sqrt {p}}} . A maximális prímhézagok táblázata alapján a sejtés biztosan igaz 4 · 1018-ig.[10] Egy 1018 körüli ellenpéldának a szokásos prímszámhézag 50 milliószorosát kellene teljesíteni. Matomäki eredménye szerint legfeljebb x 1 / 6 {\displaystyle x^{1/6}} olyan kivételes prím létezik, melyeket 2 p {\displaystyle {\sqrt {2p}}} -nál nagyobb hézag követ; formálisan:
Ingham igazolta, hogy kellően nagy n-ekre biztosan létezik prímszám n 3 {\displaystyle n^{3}} és ( n + 1 ) 3 {\displaystyle (n+1)^{3}} között.[12]
Az 1997-ben igazolt Friedlander–Iwaniec-tétel szerint végtelen sok x 2 + y 4 {\displaystyle x^{2}+y^{4}} .[13] alakú prímszám létezik. Iwaniec megmutatta, hogy végtelen sok n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+1} alakú szám létezik legfeljebb két prímtényezővel (tehát prímek vagy félprímek).[14][15]
Az ellenkező irányt tekintve, a Brun-szita megmutatja, hogy O ( x / log x ) {\displaystyle O({\sqrt {x}}/\log x)} ilyen prímszám létezik x-ig.