F-eloszlás
A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén az F-eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás .
Az F-eloszlást a teszt-statisztika területén használják, leggyakrabban a szórásnégyzet analízisnél (lásd még: F-teszt )
Az F-eloszlás nem összekeverendő az F-statisztikával, melyet a népesség genetikában használnak.
[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] Snedecor-féle F-eloszlás vagy Fisher–Snedecor-eloszlás Ronald Fisher és George W. Snedecor után.[ 5]
Sűrűségfüggvény Kumulatív eloszlásfüggvény Ha
X
{\displaystyle X}
valószínűségi változó F-eloszlású
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
X
∼ ∼ -->
F
-->
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}
X
{\displaystyle X}
sűrűségfüggvénye :
f
(
x
;
d
1
,
d
2
)
=
(
d
1
x
)
d
1
d
2
d
2
(
d
1
x
+
d
2
)
d
1
+
d
2
x
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
=
1
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
(
d
1
d
2
)
d
1
2
x
d
1
2
− − -->
1
(
1
+
d
1
d
2
x
)
− − -->
d
1
+
d
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\!\end{aligned}}}
valós
x
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x\geq 0}
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
béta-függvény . A legtöbb alkalmazásban a
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
F
(
x
;
d
1
,
d
2
)
=
I
d
1
x
d
1
x
+
d
2
(
d
1
/
2
,
d
2
/
2
)
,
{\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2),}
ahol I a szabályozott inkomplett béta-függvény .
A lapultság:
γ γ -->
2
=
12
d
1
(
5
d
2
− − -->
22
)
(
d
1
+
d
2
− − -->
2
)
+
(
d
2
− − -->
4
)
(
d
2
− − -->
2
)
2
d
1
(
d
2
− − -->
6
)
(
d
2
− − -->
8
)
(
d
1
+
d
2
− − -->
2
)
{\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}
Egy
F
-->
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}
k -ik momentuma létezik, és csak akkor véges, ha
2
k
<
d
2
{\displaystyle 2k<d_{2}}
[ 6]
μ μ -->
X
(
k
)
=
(
d
2
d
1
)
k
Γ Γ -->
(
d
1
/
2
+
k
)
Γ Γ -->
(
d
1
/
2
)
Γ Γ -->
(
d
2
/
2
− − -->
k
)
Γ Γ -->
(
d
2
/
2
)
{\displaystyle \mu _{X}\left(k\right)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left(d_{1}/2+k\right)}{\Gamma \left(d_{1}/2\right)}}{\frac {\Gamma \left(d_{2}/2-k\right)}{\Gamma \left(d_{2}/2\right)}}}
Az F-eloszlás az Elsődleges béta-eloszlás partikuláris parametrizálása, melyet másodfajú béta-eloszlásnak is hívnak.
A karakterisztikus függvény:[ 7]
φ φ -->
d
1
,
d
2
F
(
s
)
=
Γ Γ -->
(
(
d
1
+
d
2
)
/
2
)
Γ Γ -->
(
d
2
/
2
)
U
(
d
1
/
2
,
1
− − -->
d
2
/
2
,
− − -->
d
2
/
d
1
ı ı -->
s
)
{\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma ((d_{1}+d_{2})/2)}{\Gamma (d_{2}/2)}}U(d_{1}/2,1-d_{2}/2,-d_{2}/d_{1}\imath s)}
ahol
U
(
a
,
b
,
z
)
{\displaystyle U(a,b,z)}
hipergeometrikus-függvény .
Egy d 1 és d 2 paraméterekkel rendelkező F -eloszlású valószínűségi változó, két megfelelően skálázott khí-négyzet eloszlásból származtatható:
U
1
/
d
1
U
2
/
d
2
{\displaystyle {\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}
ahol
Olyan esetekben, amikor az F -eloszlást használják, például, a szórásnégyzet analízisénél, U 1 és U 2 függetlensége demonstrálható, ha alkalmazzuk a Cochran-tételt .
Az F -eloszlás általánosítása, a nemcentrális F -eloszlás.
Ha
X
∼ ∼ -->
χ χ -->
ν ν -->
1
2
{\displaystyle X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}}
Y
∼ ∼ -->
χ χ -->
ν ν -->
2
2
{\displaystyle Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}}
X
/
ν ν -->
1
Y
/
ν ν -->
2
∼ ∼ -->
F
(
ν ν -->
1
,
ν ν -->
2
)
{\displaystyle {\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}
Ha
X
∼ ∼ -->
Beta
-->
(
ν ν -->
1
/
2
,
ν ν -->
2
/
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\nu _{1}/2,\nu _{2}/2)}
Béta-eloszlás ), akkor
ν ν -->
2
X
ν ν -->
1
(
1
− − -->
X
)
∼ ∼ -->
F
-->
(
ν ν -->
1
,
ν ν -->
2
)
{\displaystyle {\frac {\nu _{2}X}{\nu _{1}\left(1-X\right)}}\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}
Hasonlóan, ha
X
∼ ∼ -->
F
-->
(
ν ν -->
1
,
ν ν -->
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}
ν ν -->
1
X
/
ν ν -->
2
1
+
ν ν -->
1
X
/
ν ν -->
2
∼ ∼ -->
Beta
-->
(
ν ν -->
1
/
2
,
ν ν -->
2
/
2
)
{\displaystyle {\frac {\nu _{1}X/\nu _{2}}{1+\nu _{1}X/\nu _{2}}}\sim \operatorname {Beta} (\nu _{1}/2,\nu _{2}/2)}
Ha
X
∼ ∼ -->
F
(
ν ν -->
1
,
ν ν -->
2
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}
Y
=
lim
ν ν -->
2
→ → -->
∞ ∞ -->
ν ν -->
1
X
{\displaystyle Y=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}X}
khí-négyzet eloszlás
χ χ -->
ν ν -->
1
2
{\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}}
F
-->
(
ν ν -->
1
,
ν ν -->
2
)
{\displaystyle \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}
Hotelling T-négyzet eloszlással
ν ν -->
2
ν ν -->
1
(
ν ν -->
1
+
ν ν -->
2
− − -->
1
)
T
2
-->
(
ν ν -->
1
,
ν ν -->
1
+
ν ν -->
2
− − -->
1
)
{\displaystyle {\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}(\nu _{1}+\nu _{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(\nu _{1},\nu _{1}+\nu _{2}-1)}
Ha
X
∼ ∼ -->
F
-->
(
ν ν -->
1
,
ν ν -->
2
)
,
{\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2}),}
1
X
∼ ∼ -->
F
(
ν ν -->
2
,
ν ν -->
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{X}}\sim F(\nu _{2},\nu _{1})}
Ha
X
∼ ∼ -->
t
(
m
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {t} (m)\,}
Student t-eloszlás ), akkor
X
2
∼ ∼ -->
F
-->
(
ν ν -->
1
=
1
,
ν ν -->
2
=
m
)
{\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=m)}
Ha
X
∼ ∼ -->
t
(
n
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {t} (n)\,}
X
− − -->
2
∼ ∼ -->
F
-->
(
ν ν -->
1
=
n
,
ν ν -->
2
=
1
)
{\displaystyle X^{-2}\sim \operatorname {F} (\nu _{1}=n,\nu _{2}=1)}
F-eloszlás a 6. típusú Pearson-eloszlás speciális esete.
Ha
X
∼ ∼ -->
F
-->
(
n
,
m
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)}
log
-->
X
2
∼ ∼ -->
FisherZ
-->
(
n
,
m
)
{\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}
Fisher z-eloszlás )
A nemcentrális F-eloszlás egyszerűsíti az F-eloszlást, ha
λ λ -->
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
A dupla nemcentrális F-eloszlás egyszerűsíti az F-eloszlást, ha
λ λ -->
1
=
λ λ -->
2
=
0
{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}
Ha
p
{\displaystyle p}
Q
X
-->
(
p
)
{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}
X
∼ ∼ -->
F
-->
(
ν ν -->
1
,
ν ν -->
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})}
1
− − -->
p
{\displaystyle 1-p}
Q
Y
-->
(
1
− − -->
p
)
{\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}
Q
X
-->
(
p
)
=
1
/
Q
Y
-->
(
1
− − -->
p
)
{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)=1/\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}
Irodalom
Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz, N. Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). (hely nélkül): Wiley. 1995. ISBN 0-471-58494-0
Phillips, P. C. B: The true characteristic function of the F distribution. (hely nélkül): Biometrika. 1982. 261–264. o.
Jegyzetek
↑ Johnson, Norman Lloyd, Samuel Kotz, N. Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27) . Wiley (1995). ISBN 0-471-58494-0 ↑ Milton Abramowitz ; Irene Stegun , (szerk.) (1983) [June 1964]. "Chapter 26 ". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 946. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.↑ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - F Distribution
↑ Mood, Alexander, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes. Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, p. 246-249) . McGraw-Hill (1974). ISBN 0-07-042864-6 ↑ http://www.statlect.com/F_distribution.htm ↑ The F distribution ↑ Phillips, P. C. B. (1982) "The true characteristic function of the F distribution," Biometrika JSTOR 2335882
