Cochran-tétel

A statisztikában a Cochran-tételt a valószínűség-eloszlásokkal kapcsolatos eredmények igazolására használják a varianciaanalízisnél.^[1][2] A tételt William G. Cochran (1909–1980) amerikai-skót statisztikus dolgozta ki.^[3]

Állítás

Tegyük fel, hogy U₁, ..., U_n független normális eloszlású valószínűségi változók, és felírható a

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}=Q_{1}+\cdots +Q_{k}}$

alak, ahol minden Q_i, U lineáris kombinációinak négyzetösszegei. Továbbá tegyük fel, hogy

${\displaystyle r_{1}+\cdots +r_{k}=n,}$

ahol r_i Q_i rangja.

Cochran tétele azt állítja, hogy Q_i-k függetlenek, és minden egyes Q_i khí-négyzet eloszlású r_i szabadságfokkal. Itt Q_i rangját úgy kell értelmezni, mint egy B⁽ⁱ⁾ mátrix dimenzióját, Q_i négyzetes ábrázolásában:

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}U_{j}B_{j,k}^{(i)}U_{k}.}$

Kevésbé formálisan, ez a lineáris kombinációk száma, mely tartalmazza a Q_i-t meghatározó négyzetek összegét, feltéve, hogy a lineáris kombinációk lineárisan függetlenek.

Példák

Minta középérték és minta szórásnégyzet

Ha X₁, ..., X_n független, normális eloszlású valószínűségi változók μ középértékkel és σ szórással, akkor

${\displaystyle U_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}$

minden egyes i-re standard normális.

Felírhatjuk, hogy

${\displaystyle \sum U_{i}^{2}=\sum \left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

(itt az összegzés 1-től n-ig tart, a teljes megfigyelési tartományban) ${\displaystyle \sigma ^{2}}$-tel megszorozva:

${\displaystyle \sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}}+{\overline {X}}-\mu )^{2}}$

és kiterjesztve

${\displaystyle \sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}})^{2}+\sum ({\overline {X}}-\mu )^{2}+2\sum (X_{i}-{\overline {X}})({\overline {X}}-\mu ).}$

A harmadik tag zéró, mert konstans idővel egyenlő

${\displaystyle \sum ({\overline {X}}-X_{i})=0,}$

a második tag n azonos tag összege. Így:

${\displaystyle \sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}})^{2}+n({\overline {X}}-\mu )^{2},}$

és ezért

${\displaystyle \sum \left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\sum \left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=Q_{1}+Q_{2}.}$

Q₂ rangja 1, Q₁ rangja n–1, és így a Cochran-tétel feltételei teljesültek. A Cochran-tétel állítja, hogy Q₂ és Q₁ függetlenek, khi-négyzet eloszlással, és n–1, és 1 szabadságfokokkal. Ez mutatja, hogy a minta középérték, és a minta szórása függetlenek egymástól.

Ez a Basu-tételből is következik, és ez a tulajdonság a normális eloszlásra jellemző, nincs más eloszlás, ahol a minta középérték, és a minta szórása függetlenek egymástól.

Eloszlások

Az eloszlásokra szimbolikusan a következők írhatók:

${\displaystyle n({\overline {X}}-\mu )^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{1}^{2},}$

${\displaystyle \sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}.}$

Mindkét valószínűségi változó arányos az igazi, de ismeretlen σ² szórásnégyzettel. Így arányuk nem függ σ²-től, és mivel statisztikusan függetlenek, az arányuk eloszlása:

${\displaystyle {\frac {n\left({\overline {X}}-\mu \right)^{2}}{{\frac {1}{n-1}}\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}}\sim {\frac {\chi _{1}^{2}}{{\frac {1}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}}}\sim F_{1,n-1}}$

ahol F_1,n−1 az F-eloszlás 1 és n−1 szabadságfokkal (lásd Student-féle t-eloszlás). Itt a végső lépés a valószínűségi változó meghatározása, melynek F-eloszlása van.

Szórásnégyzet becslése

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}.}$

Cochran-tétel szerint:

${\displaystyle {\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

és a khi-négyzet eloszlás tulajdonságából következően a várható ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$ : ${\displaystyle \sigma ^{2}(n-1)/n}$.

Irodalom

• Cochran, W. G: "The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance". (hely nélkül): Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2). 1934.  
• Bapat, R. B.: Linear Algebra and Linear Models (Second ed.). (hely nélkül): Springer. 1934. ISBN 9780387988719  

Jegyzetek

1. Bapat, R. B.. Linear Algebra and Linear Models, Second, Springer (2000). ISBN 9780387988719 
2. http://www.staff.u-szeged.hu/~rajko/oktatas/matstat/index.html
3. Cochran, W. G. (1934. April). „The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2), 178–191. o. DOI:10.1017/S0305004100016595. 

Kapcsolódó szócikkek

• Basu-tétel
• Cramér-tétel
• Statisztikai tételek
• Normális eloszlás
• Szórás
• Variancia
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• F-eloszlás
• Student-féle t-eloszlás