תנע זוויתי

תנע זוויתי הוא גודל פיזיקלי וקטורי המקביל לתנע קווי במערכות מסתובבות: בדומה לתנופה שיש לגוף בתנועה, שדורשת הפעלת כוח כדי להאט אותו או לשנות את כיוונו, כך גם לגוף מסתובב יש תכונה, שדורשת הפעלת מומנט כוח כדי להאט את הסיבוב או לשנות את ציר הסיבוב – תכונה זו היא התנע הזוויתי.

תנע זוויתי נשאר קבוע (במילים אחרות, הוא נשמר) במערכת סגורה, בדומה לתנע קווי. במילים אחרות, מערכת שלא פועלים עליה כוחות חיצוניים אינה משנה את התנע הזוויתי שלה. באופן כללי יותר, התנע הזוויתי של מערכת נשמר אם מומנט הכוח השקול הפועל עליה שווה לאפס. חוק שימור התנע הזוויתי מאפשר לחשב תכונות ולפתור בעיות במערכות מכניות מורכבות, באסטרונומיה ועוד. כמו חוקי שימור אחרים בפיזיקה, גם שימור תנע זוויתי נובע מסימטריה לפי משפט נתר – שימור התנע הזוויתי הוא תוצאה של סימטריה לסיבוב.

במכניקה, ובפרט במכניקה של גוף קשיח, ניתן למצוא דוגמאות לשימור התנע הזוויתי במקומות רבים: זהו אחד הגורמים המעניקים יציבות לכלי רכב דו־גלגליים, והוא גם אשר מאפשר את פעולת הגירוסקופ המכני; שימור תנע זוויתי הוא גם הגורם העיקרי ליצירת כוכבי לכת.^[1]

הסבר אינטואיטיבי

התנע הזוויתי מזכיר בתכונותיו את תכונות התנע הקווי (התנע הפשוט והמוכר יותר, הנתפס כתנופה של גוף נע). התנע הקווי, המוגדר כמכפלת המסה במהירות, מתאר את יכולתו של גוף להמשיך בתנועתו (תכונה זו נקראת גם אינרציה; ככל שהתנע של גוף גדול יותר, כך יהיה קשה יותר לעצור אותו): על פי חוק שימור התנע, אם לא פועלים כוחות חיצוניים אזי התנע של גוף נשאר קבוע, ועל פי החוק השני של ניוטון, כוחות גורמים לשינוי בתנע. לדוגמה, קשה יותר לעצור משאית מאשר אופנוע שנוסעים במהירות שווה, כיוון שהמסה של המשאית גדולה יותר, ולכן גם התנע שלה גדול יותר.

באופן דומה, חוק שימור התנע הזוויתי קובע שגוף מסתובב ימשיך להסתובב כל עוד לא פועלים עליו מומנטים חיצוניים. לכן, לדוגמה, כאשר שתי דיסקות בגודל זהה אך שונות במשקלן מסתובבות סביב עצמן במהירות זהה, יהיה קשה יותר לעצור את הדיסקה הכבדה יותר, מכיוון שיש לה תנע זוויתי גדול יותר.

בנוסף, התנע הזוויתי תלוי גם במרחק מציר הסיבוב. כך למשל, אם רקדנית מתחילה להסתובב סביב עצמה (פירואט), כאשר זרועותיה ורגלה פרושות כלפי חוץ, ואז היא מקרבת אותן לגופה, מהירות הסיבוב שלה עולה. תופעה זאת נובעת מכך שכאשר הרקדנית מקרבת את זרועותיה, היא מקטינה את המרחק שלהן מציר הסיבוב, ומשימור התנע הזוויתי נובע שמהירות הסיבוב שלה חייבת לגדול.^[2]

תנע זוויתי של גוף נקודתי

גוף עם תנע קווי ${\displaystyle {\vec {p}}}$, בשלוש מערכות ייחוס שונות: A,‏ B ו־C. מערכת הייחוס משפיעה על גודלו וכיוונו של התנע הזוויתי.

במכניקה קלאסית, מוגדר וקטור התנע הזוויתי ${\displaystyle {\vec {L}}}$ של גוף נקודתי על ידי הנוסחה:

$${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}$$

כאשר ${\displaystyle {\vec {r}}}$ הוא וקטור ההעתק מראשית הצירים למיקום הגוף, ${\displaystyle {\vec {p}}}$ הוא וקטור התנע הקווי, והפעולה ${\displaystyle \times }$ מסמנת מכפלה וקטורית. במילים אחרות, ערכו של התנע הזוויתי תלוי במרחקו של הגוף מראשית הצירים, בערכו של התנע הקווי ובזווית בין התנע הקווי לציר הסיבוב. גודלו של התנע הזוויתי, בהיותו נתון על ידי מכפלה וקטורית, הוא ${\displaystyle |L|=r\cdot p\cdot \sin \alpha }$, כאשר ${\displaystyle \alpha }$ היא הזווית בין ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ל־${\displaystyle {\vec {p}}}$, וכיוונו מקביל לציר הסיבוב (כלומר, ניצב למישור הסיבוב). בפרט, נובע מהנוסחה כי התנע הזוויתי הוא לא גודל מוחלט, והוא עשוי להשתנות עם שינוי מיקומה של ראשית הצירים. למשל, באיור מופיע (באדום) גוף, שיש לו תנע קווי במערכת המעבדה (מסומן ב-${\displaystyle {\vec {p}}}$). בהנחה ש־${\displaystyle {\vec {r}}_{B}=2\cdot {\vec {r}}_{A}}$, גודלו של L במערכת שבה B היא ראשית הצירים כפול מגודלו במערכת צירים שבה A היא ראשית הצירים. בנוסף, במערכת שבה C ראשית הצירים, גודלו של התנע הזוויתי מתאפס.

מנוסחה זו ניתן להסיק גם את היחידות של התנע הזוויתי. במערכת היחידות הבינלאומית (SI):

${\displaystyle \left[{\vec {L}}\right]=\left[{\vec {r}}\times {\vec {p}}\right]=\left[r\right]\cdot \left[p\right]={\rm {m\cdot {\frac {kg\cdot m}{sec}}={\frac {kg\cdot m^{2}}{{sec}^{2}}}\cdot sec=J\cdot sec}}}$

כלומר, לתנע הזוויתי יחידות של ג'ול-שנייה במערכת SI. באופן דומה ניתן להראות כי במערכת CGS, היחידות של התנע הזוויתי הן ארג-שנייה.

כמו כן, באמצעות הגדרת התנע הזוויתי, ניתן להסיק מהחוק השני של ניוטון (${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\operatorname {d} \!{\vec {p}}}{\operatorname {d} \!t}}}$) חוק מקביל עבור תנועה סיבובית: $${\displaystyle {\vec {\tau }}={\frac {\operatorname {d} \!{\vec {L}}}{\operatorname {d} \!t}}}$$

כאשר ${\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}$ נקרא מומנט הכוח השקול הפועל על הגוף. אם לא פועל מומנט כוח על הגוף, התנע הזוויתי נשמר (כלומר: הוא אינו משתנה עם הזמן). מומנט הכוח יכול להתאפס אם לא פועל כוח על הגוף, או אם הכוח השקול פועל בכיוון ${\displaystyle {\vec {r}}}$. למשל, כוח הכבידה הפועל בין השמש וכדור הארץ הוא כוח מרכזי: אם נבחר את ראשית הצירים במרכז השמש, הכוח שמפעילה השמש על כדור הארץ הוא בכיוון ${\displaystyle {\vec {r}}}$. לכן, השמש אינה מפעילה מומנט כוח על כדור הארץ, וכתוצאה מכך התנע הזוויתי של כדור הארץ סביב השמש נשאר קבוע.

במערכת בה התנע הזוויתי והמסות הם גדלים שמורים, הגדלת רדיוס הסיבוב תקטין את המהירות הקווית ולהפך.

בניסוח לפי המכניקה האנליטית, התנע הזוויתי הוא התנע הקנוני הצמוד לקואורדינטות הזווית (כלומר, הקואורדינטות שמתארות את דרגות החופש של הסיבוב). לכן, לפי משפט נתר, התנע הזוויתי הוא שמורה של המערכת אם הלגרנג'יאן סימטרי לסיבוב מערכת הצירים.

תנע זוויתי של גוף קשיח

ערך מורחב – מכניקה של גוף קשיח

התנע הזוויתי של גוף קשיח המסתובב במהירות זוויתית קבועה ${\displaystyle \omega }$ סביב ציר מסוים, הוא מכפלת המהירות הזוויתית במומנט ההתמד של הגוף ${\displaystyle \ I}$ סביב אותו ציר,

${\displaystyle L=I\omega \ }$

מומנט ההתמד הוא תכונה של הגוף, המציינת את "התנגדותו" לשינוי בסיבוב סביב ציר מסוים. במקרה הכללי יותר, עבור סיבוב במהירות זוויתית כללית ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ סביב ציר שכיוונו הוא כיוון וקטור המהירות הזוויתית, התנע הזוויתי הוא מכפלת טנזור ההתמד של הגוף בווקטור המהירות הזוויתית,

${\displaystyle {\vec {L}}={\hat {I}}{\vec {\omega }}\ }$

טנזור ההתמד של הגוף מכליל את מומנט ההתמד עבור כל כיווני הסיבוב.

האנרגיה הקינטית הסיבובית של גוף קשיח נתונה על ידי:

${\displaystyle \ E_{k}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}{\hat {I}}{\vec {\omega }}}$

כאשר הגוף מסתובב סביב ציר סיבוב קבוע:

${\displaystyle \ E_{k}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

התנע הזוויתי כפסאודו-וקטור

ערך מורחב – פסאודו וקטור

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

כפי שנאמר לעיל, התנע הזוויתי מוגדר באמצעות מכפלה וקטורית. לכן, הוא מתנהג כפסאודו-וקטור, כלומר: שיקוף במישור מקביל לו הופך את כיוונו.

כמו בהקשרים אחרים,^[3] כדי לשמור על אופיו של התנע הזוויתי כטנזור ניתן להמיר אותו בטנזור אנטיסימטרי מדרגה 2:

${\displaystyle L_{ij}=r_{i}p_{j}-p_{i}r_{j}={\begin{bmatrix}0&L_{z}&-L_{y}\\-L_{z}&0&L_{x}\\L_{y}&-L_{x}&0\end{bmatrix}}}$

תנע זוויתי במכניקת הקוונטים

ערך מורחב – אופרטור התנע הזוויתי

במכניקת הקוונטים, התנע הזוויתי הוא אופרטור הרמיטי המשמש בפתרון משוואת שרדינגר של מערכות במרחב התלת־ממדי עם פוטנציאל בעל סימטריה כדורית (פוטנציאל מרכזי). אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי ${\displaystyle {\vec {L}}}$ הוא אופרטור וקטורי, המוגדר כקוונטיזציה של התנע הזוויתי במכניקה הקלאסית ${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}$, כאשר ${\displaystyle {\vec {r}}}$ הוא אופרטור המיקום (ההעתק) ו־${\displaystyle \ {\vec {p}}}$ הוא אופרטור התנע (הקווי) הווקטורי (המוגדר בהצגת המקום באמצעות הגרדיאנט: ${\displaystyle \ {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$). מתוך הגדרה זו, מתקבלים שלושה אופרטורים סקלריים: ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}}$.

בנוסף, במערכות קוונטיות רבות ישנו שימוש בשני אופרטורים נוספים אשר מציגים מדידה של גודל בעל יחידות של תנע זוויתי: אופרטור הספין ${\displaystyle {\vec {S}}}$ ואופרטור התנע הכולל ${\displaystyle {\vec {J}}}$.

בעזרת אפקט איינשטיין דה הס ראו ב 1908 כי התנע הזוויתי של הספין אכן נראה כתנע זוויתי מכני בתופעה מקרוסקופית.

ראו גם

• הרמוניות ספריות
• ספין

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תנע זוויתי בוויקישיתוף

• ארז גרטי, הקשר בין החלקה על הקרח לתנע זויתי, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 2 ביולי 2011
• אופרטורים וקטוריים במרחב הילברט מתוך הבלוג רשימות בפיזיקה עיונית
• תנע זוויתי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

1. ראו למשל בערך התפתחות מערכת השמש#היווצרות כוכבי הלכת, וראו גם:
   
   Woolfson, M.M. (1993). "Solar System – its origin and evolution". Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society. 34: 1–20. Bibcode:1993QJRAS..34....1W.
2. G. Gollin, The Physics of Dance: a 1997 presentation to dance classes at Hope College in Holland, Michigan.
3. ראו למשל את הטיפול היחסותי בשדה המגנטי