קונבולוציית דיריכלה

בתורת המספרים, קונבולוציית דיריכלה היא פעולה בינארית בין שתי פונקציות אריתמטיות הדומה לקונבולוציה. הפעולה פותחה על ידי המתמטיקאי הגרמני בן המאה ה-19 יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה.

הגדרה

לכל שתי פונקציות אריתמטיות ${\displaystyle f,g}$ קונבולוציית דיריכלה ${\displaystyle f*g}$ מוגדרת:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)}$

כאשר ${\displaystyle d}$ עובר על כל המחלקים של ${\displaystyle n}$. ניתן להגדיר גם ללא פעולת חילוק:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{ab\,=\,n}f(a)g(b)}$

כאשר ${\displaystyle a,b}$ הם כל הזוגות של מספרים טבעיים שמכפלתם היא ${\displaystyle n}$.

תכונות אלגבריות

קונבולוציית דיריכלה היא פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית. היא גם דיסטריבוטיבית מעל חיבור פונקציות (${\displaystyle (f+g)(n)=f(n)+g(n)}$).

תכונות אלו הופכות את קבוצת הפונקציות האריתמטיות לחוג קומוטטיבי ביחס לחיבור וקונבולוציית דיריכלה. איבר היחידה בחוג הוא פונקציית היחידה ${\displaystyle \varepsilon }$, המוגדרת

${\displaystyle \varepsilon (n)={\begin{cases}1&:n=1\\0&:n>1\end{cases}}}$

האיברים ההפיכים בחוג הם אלה המקיימים ${\displaystyle f(1)\neq 0}$. ההופכי של איבר בחוג נקרא הופכי דיריכלה. קיימת נוסחה רקורסיבית להופכי דיריכלה של פונקציה. אם ${\displaystyle g}$ הוא הופכי דיריכלה של ${\displaystyle f}$ אז ל-${\displaystyle n=1}$ מתקיים ${\displaystyle g(1)={\tfrac {1}{f(1)}}}$. ל-${\displaystyle n>1}$ מתקיים:

${\displaystyle g(n)=-{\frac {1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\,\mid \,n}{d<n}}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d)}$

הקונבולוציה של שתי פונקציות כפליות גם היא כפלית. כל פונקציה כפלית היא הפיכה והופכי דיריכלה שלה גם כן כפלי. הקונבולוציה של שתי פונקציות כפילות במובן החזק אינה בהכרח כפלית במובן החזק.

דוגמאות

סימונים מוסכמים לפונקציות אריתמטיות מרכזיות: ${\displaystyle \varepsilon }$ – פונקציית היחידה ואיבר היחידה ביחס לקונבולוציית דיריכלה. ${\displaystyle \mathbf {1} }$ – פונקציית האחדות הקבועה, שמחזירה ${\displaystyle \mathbf {1} (n)=1}$ לכל ${\displaystyle n}$. ${\displaystyle I}$ – פונקציית הזהות ${\displaystyle I(n)=n}$ ${\displaystyle \mu }$ – פונקציית מביוס ${\displaystyle \phi }$ – פונקציית אוילר ${\displaystyle \sigma }$ – פונקציית סכום המחלקים ${\displaystyle d}$ – פונקציית מספר המחלקים ${\displaystyle \lambda }$ – פונקציית ליוביל

מסמנים ${\displaystyle \mathbf {1} }$ את הפונקציה שמחזירה ${\displaystyle 1}$ לכל ${\displaystyle n}$. לכל פונקציה ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle (f*\mathbf {1} )(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)}$

בפרט:

${\displaystyle d=\mathbf {1} *\mathbf {1} }$

${\displaystyle \sigma =I*\mathbf {1} }$

${\displaystyle I=\phi *\mathbf {1} }$ (הסבר)

משלוש הזהויות הללו נובע (על ידי הפעלת קונבולוציה נוספת עם ${\displaystyle \mathbf {1} }$ בזהות השלישית):

${\displaystyle \sigma =\phi *d}$

פונקציית מביוס היא הופכי דיריכלה של ${\displaystyle \mathbf {1} }$. כלומר ${\displaystyle \mu *\mathbf {1} =\varepsilon }$. מכאן נובעת מיד נוסחת ההיפוך של מביוס. אם

${\displaystyle F(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)}$

אזי

${\displaystyle f=\varepsilon *f=\mu *\mathbf {1} *f=\mu *F}$

בפרט:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} =d*\mu \\I=\sigma *\mu \\\phi =I*\mu \\\varepsilon =\lambda *|\mu |\end{aligned}}}$

טורי דיריכלה

טור דיריכלה של פונקציה אריתמטית ${\displaystyle f}$ הוא פונקציה מרוכבת במשתנה ${\displaystyle s}$ המוגדרת:

${\displaystyle D(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$.

המפורסם מבין טורי דיריכלה הוא פונקציית זטא של רימן:

${\displaystyle \zeta (s)=D(\mathbf {1} ;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$.

יש קשר הדוק בטורי דיריכלה לקונבולוציית דיריכלה, המתבטא בזהות:

${\displaystyle D(f*g;s)=D(f;s)\cdot D(g;s)}$.

הזהות אנלוגית למשפט הקונבולוציה שקובע שקונבולוציה רגילה מקיימת זהות דומה עם התמרת פורייה.

על סמך הזהות ניתן לחשב טורי דיריכלה רבים. למשל ${\displaystyle D(\mu ;s)={\tfrac {1}{\zeta (s)}}}$, כי:

${\displaystyle D(\mu ;s)\cdot \zeta (s)=D(\mu *\mathbf {1} ;s)=D(\varepsilon ;s)=1}$

דוגמה נוספת:

${\displaystyle D(\phi ;s)=D(I*\mu ;s)=D(I;s)\cdot D(\mu ;s)=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{s}}}\right)\cdot {\frac {1}{\zeta (s)}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$