קבוצת קנטור מוכללת

לאחר הסרת הקטעים השחורים, הנקודות הלבנות שנותרו מהוות קבוצה דלילה בעלת מידת לבג 1/2.

במתמטיקה, קבוצת קנטור מוכללת, היא דוגמה לקבוצת נקודות במישור הממשי שהיא קבוצה דלילה (בפרט היא אינה מכילה קטעים לא מנוונים), ובכל זאת היא בעלת מידת לבג חיובית. קבוצת קנטור המוכללת היא הכללה של קבוצת קנטור ושתיהן נקראות על שם המתמטיקאי גיאורג קנטור. במאמר משנת 1875, המתמטיקאי הנרי סמית' דן בקבוצה דלילה בעלת מידה חיובית על המישור הממשי,^[1] והמתמטיקאי ויטו וולטרה הציג דוגמה דומה ב־1881.^[2] בעוד קבוצת קנטור המוכרת כיום התפרסמה בשנת 1883. מבחינה טופולוגית קבוצות קנטור המוכללות מקבילות מבחינה טופולוגית לקבוצת קנטור הסטנדרטית.

הגדרה פורמלית

בדומה לבניית קבוצת קנטור, קבוצת קנטור מוכללת בנויה על ידי הסרת קטעים מסוימים מקטע היחידה ${\displaystyle \left[0,1\right]}$.

בהינתן סדרה של מספרים ממשיים ${\displaystyle (\delta _{1},\delta _{2},\ldots )}$ באשר ${\displaystyle 0<\delta _{k}<1}$ לכל ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{+}}$ נגדיר בצורה רקורסיבית קבוצות בצורה הבאה, הקטע שבו עובדים הוא ${\displaystyle C_{0}=[0,1]}$ והקבוצה ${\displaystyle C_{n}}$ תוגדר להיות ${\displaystyle C_{n-1}}$ לאחר הוצאה ממרכזו של כל קטע ${\displaystyle I}$ ב־${\displaystyle C_{n-1}}$ קטע באורך ${\displaystyle \delta _{n}\cdot \lambda (I)}$, באשר ${\displaystyle \lambda }$ מייצגת את מידת לבג, לבסוף קבוצת קנטור המוכללת היא הקבוצה המתקבלת מלקיחת חיתוך על פני כל האיטרציות של התהליך, קרי ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }C_{n}}$.

ניתן גם להגדיר את הקבוצה על ידי הורדת קטע באורך ${\displaystyle \delta _{n}}$ ישירות, אך מהלך זה ידרוש להגדיר את הסדרה ${\displaystyle \delta }$ בצורה כזאת שבכל שלב יחוסר חלק יחסי של כל קטע על מנת שלא להגיע למצב בו יש קטע ריק בבנייה.

קבוצת קנטור

בעזרת הליך הבנייה מלעיל ניתן להגדיר את קבוצת קנטור בדרך הראשונה שהוצגה על ידי בחירת ${\displaystyle \delta ={\frac {1}{3}}}$, כלומר הסדרה הקבועה 1/3. ראה ערך מלא על קבוצת קנטור. בעקבות בחירת סדרת גודל הקטעים שמוסרים בכל שלב קבוצת קנטור היא בעלת מידה אפס, זאת לעומת קבוצות קנטור מוכללות רבות.

קבוצת סמית'-וולטרה-קנטור

קבוצת סמית'-וולטרה-קנטור היא קבוצת קנטור מוכללת אשר נקראת על שמם של שלושה מתמטיקאים, הנרי סמית', ויטו וולטרה וגאורג קנטור. תהליך יצירת הקבוצה מתחיל בהסרת ה־1/4 האמצעי מקטע היחידה ${\displaystyle [0,1]}$ (זהה להסרת 1/8 משני צידי הנקודה האמצעית בקטע היחידה) כך שהקבוצה הנותרת היא$${\displaystyle \left[0,{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},1\right]}$$השלבים הבאים מורכבים מהסרת ${\displaystyle 1/4^{n}}$ מאמצע כל אחד מה־${\displaystyle 2^{n-1}}$ קטעי משנה שנותרו. לכן בשלב השני של התהליך הקטעים ${\displaystyle (5/32,7/32)}$ וכן ${\displaystyle (25/32,27/32)}$ נמחקים, מה שמשאיר את הקבוצה$${\displaystyle \left[0,{\tfrac {5}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {7}{32}},{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},{\tfrac {25}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {27}{32}},1\right].}$$לאחר המשכת התהליך בצורה רקורסיבית עד אינסוף, קבוצת סמית'-וולטרה-קנטור היא קבוצת הנקודות שלעולם לא מוסרות בתהליך. התמונה למטה מציגה את הקבוצה המקורית וכן את חמשת האיטרציות העוקבות של תהליך זה,

כל איטרציה שלאחר מכן בתהליך בנייתה של הקבוצה מסיר באופן יחסי פחות מהקטעים הנותרים, זאת לעומת קבוצת קנטור.

תכונות ושימושיהן

לפי תהליך הבנייה, קבוצת קנטור מוכללת אינה מכילה קטעים ולכן בעלת פנים ריק, כלומר ${\displaystyle {\text{int}}({\mathcal {C}})=\emptyset }$. בנוסף קבוצת קנטור מוכללת היא חיתוך בן מנייה של קבוצות סגורות, ולכן קבוצת קנטור מוכללת בעצמה קבוצה סגורה.

ניתן להשתמש במכפלה קרטזית של קבוצות קנטור מוכללות על מנת למצוא קבוצות בלתי קשירות לחלוטין בממדים גבוהים יותר עם מידה שאינה אפס. על ידי שימוש במשפט דנג'וי-ריס (אנ') על קבוצה דו־ממדית מסוג זה, ניתן למצוא עקומת אוסגוד (אנ'), שהיא עקומה כך שכל הנקודות עליה בעלות שטח חיובי.^[3]

קבוצת קנטור מוכללת משומשת על מנת לבנות את הפונקציה של וולטרה (אנ') שהיא פונקציה ממשית גזירה בכל מקום, בעלת נגזרת חסומה בכל מקום אך שנגזרתה אינה אינטגרבילית רימן.

חלק מקבוצות קנטור מוכללות (לדוגמה קבוצת סמית'-וולטרה-קנטור) אינן מדידות ז'ורדן (אנ'), ובכך הן דוגמה לקבוצות קומפקטיות שאינן מדידות ז'ורדן.

פונקציית האינדיקטור של חלק מקבוצות קנטור המוכללות (לדוגמה קבוצת סמית'-וולטרה-קנטור) הן דוגמה לפונקציה חסומה שאינה אינטגרבילית רימן בקטע ${\displaystyle (0,1)}$.

קריטריון לזניחות

בהיתן קבוצת קנטור מוכללת ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ הנוצרה מסדרה ${\displaystyle \delta }$ כמתואר בהגדרה הפומרלית, מתקיים כי, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ קבוצה זניחה אם"ם ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\delta _{n}=\infty }$.

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. הוכחה של המשפט, תכונות נוספות.

חישוב מידת לבג של קבוצת קנטור מוכללת

על מנת לחשב את מידת הלבג של קבוצת קנטור מוכללת, ניתן לחשב את מידת הלבג של כל קטע אשר מורידים במהלך הבנייה הרקורסיבית של הקבוצה. לדוגמה, נניח כי נמצאים מסירים את הקטעים האמצעיים בעלי אורך ${\displaystyle a^{n}}$ באיטרציה ה־${\displaystyle n}$ של התהליך, באשר ${\displaystyle 0\leq a\leq {\dfrac {1}{3}}}$ אזי לקבוצת הקנטור המוכללת המתקבלת יש מידת לבג הניתנת לחישוב בצורה הבאה,$${\displaystyle {\begin{aligned}1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a^{n+1}&=1-a\sum _{n=0}^{\infty }(2a)^{n}\\[5pt]&=1-a{\frac {1}{1-2a}}\\[5pt]&={\frac {1-3a}{1-2a}}\end{aligned}}}$$אשר עולה מ־0 ל־1 כאשר ${\displaystyle a}$ יורדת מ־1/3 ל־0 (וכן המקרה בו ${\displaystyle a>1/3}$ בלתי אפשרי בצורת בנייה זו).

מידת לבג של קבוצת סמית'-וולטרה-קנטור

לקבוצת סמית'-וולטרה-קנטור יש מידת לבג חיובית בעוד לקבוצת קנטור יש מידה אפס. במהלך התהליך, הקטעים המוסרים הם בעלי אורך כולל של$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{2n+2}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,}$$מה שמראה שלקבוצת הנקודות הנותרות יש מידה חיובית של 1/2. מה שהופך את קבוצת סמית'-וולטרה-קנטור לדוגמה לקבוצה סגורה בעלת שפה עם מידת לבג חיובית.

הערות שוליים

1. Smith, Henry J.S. (1874). "On the integration of discontinuous functions". Proceedings of the London Mathematical Society. First series. 6: 140–153
2. Ponce Campuzano, Juan; Maldonado, Miguel (2015). "Vito Volterra's construction of a nonconstant function with a bounded, non Riemann integrable derivative". BSHM Bulletin Journal of the British Society for the History of Mathematics. 30 (2): 143–152. doi:10.1080/17498430.2015.1010771.
3. Balcerzak, M.; Kharazishvili, A. (1999), "On uncountable unions and intersections of measurable sets", Georgian Mathematical Journal, 6 (3): 201–212, doi:10.1023/A:1022102312024, MR 1679442.