קבוצת החזקה

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה ${\displaystyle A}$ היא קבוצת כל תת הקבוצות של ${\displaystyle A}$, ומסמנים אותה ב־${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$. פורמלית ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{B\mid B\subseteq A\}}$, ולדוגמה: ${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(\left\{x,y\right\}\right)=\left\{\emptyset ,\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}}$. במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

תכונות

• כל קבוצה מכילה את עצמה ואת הקבוצה הריקה, ועל כן שני אלו הם איברים בקבוצת החזקה.
• ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי ${\displaystyle A}$ שווה ל־${\displaystyle 2^{|A|}}$ (שתיים בחזקת עוצמת ${\displaystyle A}$), ובניסוח מתמטי: ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}(A)\right|=2^{|A|}}$. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של ${\displaystyle A}$ בסימון ${\displaystyle 2^{|A|}}$, ויש המסמנים את קבוצת החזקה עצמה ב־${\displaystyle 2^{A}}$.
• קבוצת החזקה של ${\displaystyle A}$ איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות של תת־קבוצות של ${\displaystyle A}$, היא ${\displaystyle \{0,1\}^{A}=\{f\mid f\colon A\to \{0,1\}\}}$ (כל תת־קבוצה ${\displaystyle B\subseteq A}$ מתאימה לפונקציה המציינת שלה ${\displaystyle \mathbf {1} _{B}\in \{0,1\}^{A}}$). לכן הסימון ${\displaystyle 2^{|A|}}$ לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם ${\displaystyle 2^{|A|}=|\lbrace 0,1\rbrace ^{A}|}$). זו המוטיבציה לסימון ${\displaystyle 2^{A}}$ שיש הנוקטים בו עבור קבוצת החזקה של ${\displaystyle A}$ ("${\displaystyle 2}$" מתאים לקבוצה בת שני האיברים ${\displaystyle \{0,1\}}$).
• משפט קנטור מראה כי אי השוויון ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}(A)\right|>|A|}$ שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה ${\displaystyle A}$.

ראו גם

• הפרדוקס של קנטור
• מונחים בתורת הקבוצות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא קבוצת החזקה בוויקישיתוף

• קבוצת החזקה, באתר MathWorld (באנגלית)