פונקציית גימל

במתמטיקה ובפרט בתורת הקבוצות, פונקציית גימל היא פונקציה המסומנת באות העברית ג, אשר פועלת על מספרים מונים, ומוגדרת על פי הנוסחה:

${\displaystyle \gimel (\kappa )=\kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}}$

כאשר ${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )}$ היא הקופינליות של ${\displaystyle \kappa }$.

תכונות של פונקציית גימל

ממשפט קניג נובע כי ${\displaystyle \kappa <\gimel (\kappa )}$: תהי ${\displaystyle |I|=\mathrm {cf} (\kappa )}$ ולכן לכל ${\displaystyle i\in I}$ מותאם מספר מונה ${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$ כך ש- ${\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=\kappa }$. ממשפט קניג נקבל ${\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}<\prod _{i\in I}\kappa =\kappa ^{|I|}=\kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}}$.

אם ${\displaystyle \kappa }$ הוא מונה סדיר, אז ${\displaystyle \gimel (\kappa )=2^{\kappa }}$.

השערת גימל

השערת גימל היא ההשערה לפיה ${\displaystyle \gimel (\kappa )=\max\{2^{\mathrm {cf} (\kappa )},\kappa ^{+}\}}$ כאשר ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ הוא העוקב של ${\displaystyle \kappa }$.

ראו גם

• אלף אפס
• ב (מתמטיקה)
• קופינליות

קישורים חיצוניים

• ל. בוקובסקי, בעיית הרצף וחזקות של אל"פים (באנגלית)