ב (מתמטיקה)

במתמטיקה, יש שימוש באות ב׳ בייצוג עוצמות אינסופיות. השימוש באות ב׳ במתמטיקה דומה לשימוש באות א' (אָלֶף אֶפֶס), אך אינו זהה (אלא בקבלת השערת הרצף המוכללת כנכונה). בניגוד לשימוש ב־${\displaystyle \aleph }$, השימוש ב־${\displaystyle \beth }$ לא בהכרח מכסה את כל העוצמות האינסופיות שקיימות.

הגדרה

ראשית נגדיר

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$

כלומר, ${\displaystyle \beth _{0}}$ הוא העוצמה של כל קבוצה בת מנייה אינסופית. כעת נגדיר

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}}$

כלומר, כל ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ הוא העוצמה של קבוצה המהווה קבוצת חזקה של קבוצה שעוצמתה היא ${\displaystyle \beth _{\alpha -1}}$.

בצורה כזאת ניתן להתאים לכל מספר טבעי n עוצמה ${\displaystyle \beth _{n}}$. ניתן להרחיב את ההגדרה לכל מספר סודר על ידי הגדרה לסודרים גבוליים:

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}}$

וסודרים עוקבים כמו קודם.

לפי משפט קנטור, לכל עוצמה אינסופית יש עוצמה אינסופית גדולה יותר, ואין עוצמה אינסופית גדולה ביותר. לכן לכל ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ קיים ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}}$ שגדול ממנו.

קשר לשימוש ב־ℵ׳ במתמטיקה

השערת הרצף (שלפיה עוצמת הרצף היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר שאינה בת מנייה) שקולה למשפט ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$. השערת הרצף המוכללת שקולה למשפט ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$.

יש המסמנים את עוצמת שדה המספרים הממשיים באות ${\displaystyle \aleph }$, וכך מקבלים ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph }$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ב בוויקישיתוף