משפט תאלס

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה קיימים שני משפטים המכונים בשם משפט תָאלֵס, על שמו של תָאלֵס איש מילֵטוֹס.

המשפט הראשון

משפט תאלס הפשוט והרחבתו הראשונה

בגאומטריה אוקלידית, משפט תאלס קובע שישרים מקבילים חותכים משני שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים. למשל, בציור שמשמאל, אם ${\displaystyle DE\|BC}$ , אז ${\displaystyle {\frac {AD}{DB}}={\frac {AE}{EC}}}$

על פי ערך משולש ניתן להגיע לשוויונות נוספים, כמו ${\displaystyle {\frac {AB}{DB}}={\frac {AC}{EC}}}$

הרחבות

הרחבה ראשונה

ההרחבה הראשונה קובעת שגם היחס בין הקטעים שהזווית חותכת מהישרים המקבילים, שווה ליחס בין החלקים שהישרים המקבילים חותכים משוקי הזווית. למשל, בציור שמשמאל, אם ${\displaystyle DE\|BC}$, אז ${\displaystyle {\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AE}}={\frac {BC}{DE}}}$

הרחבה שנייה

משפט תאלס הפשוט מתייחס רק למקרה שבו הישרים המקבילים נמצאים מאותו צד של קודקוד הזווית. ההרחבה השנייה קובעת שמשפט תאלס נכון גם אם הישרים אינם מאותו צד של קודקוד הזווית. למשל, בציור שמשמאל, אם ${\displaystyle DE\|BC}$, אז ${\displaystyle {\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AE}}={\frac {BC}{ED}}}$

הוכחת המשפט

המשפט עצמו

מעבירים את ${\displaystyle \ BE}$ ואת ${\displaystyle \ CD}$.

בוחנים את המשולש ${\displaystyle BDE}$ ואת המשולש ${\displaystyle CDE}$.

בשני משולשים אלו, ${\displaystyle DE}$ צלע, והגובה מ-${\displaystyle B}$ ל-${\displaystyle \ DE}$ שווה לגובה מ-${\displaystyle \ C}$ ל-${\displaystyle \ DE}$. (כי ${\displaystyle DE\|BC}$)

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר ${\displaystyle \ S_{BDE}=S_{CDE}}$

אם מחברים לשני האגפים את שטח המשולש ${\displaystyle \ ADE}$, מקבלים ${\displaystyle \ S_{ABE}=S_{ACD}}$

מורידים גובה ${\displaystyle \ h_{1}}$ מ-${\displaystyle \ C}$ ל-${\displaystyle \ AB}$, וגובה ${\displaystyle \ h_{2}}$ מ-${\displaystyle \ B}$ ל-${\displaystyle \ AC}$.

מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל: ${\displaystyle {\frac {h_{1}AD}{2}}={\frac {h_{2}AE}{2}}}$

סידור מחדש יוביל אותנו לתוצאה הבאה: ${\displaystyle {\frac {AD}{AE}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$

כעת מתבוננים במשולשים ${\displaystyle BCE}$ ו-${\displaystyle CBD}$

גם שטחי משולשים אלה שווים, מכיוון שהם בעלי בסיס משותף וגובהם הוא המרחק בין המקבילים

נשתמש בגבהים שהורדנו על מנת לבטא את שטחי המשולשים ${\displaystyle BCE}$ו-${\displaystyle CBD}$:

${\displaystyle {\frac {h_{1}BD}{2}}={\frac {h_{2}CE}{2}}}$

סידור מחדש יוביל לתוצאה הבאה: ${\displaystyle {\frac {BD}{CE}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$

נשווה את היחסים ונקבל: ${\displaystyle {\frac {AD}{AE}}={\frac {BD}{CE}}}$

לאחר החלפת מקומות על האלכסון, מקבלים: ${\displaystyle {\frac {AD}{BD}}={\frac {AE}{CE}}}$

הרחבה ראשונה

מעבירים את ${\displaystyle \ BE}$ ואת ${\displaystyle \ CD}$.

בוחנים את המשולש ${\displaystyle \ BDE}$ ואת המשולש ${\displaystyle \ CDE}$.

בשני משולשים אלו, ${\displaystyle \ DE}$ צלע, והגובה מ-${\displaystyle \ B}$ ל-${\displaystyle \ DE}$ שווה לגובה מ-${\displaystyle \ C}$ ל-${\displaystyle \ DE}$. (כי ${\displaystyle DE\|BC}$)

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר ${\displaystyle \ S_{BDE}=S_{CDE}}$

אם מוסיפים לשני האגפים את שטח המשולש ${\displaystyle \ ADE}$, מקבלים ${\displaystyle \ S_{ABE}=S_{ACD}}$

מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש ${\displaystyle \ ADE}$, ונקבל ${\displaystyle {\frac {S_{ABE}}{S_{ADE}}}={\frac {S_{ACD}}{S_{ADE}}}}$

מורידים גובה ${\displaystyle \ h_{1}}$ מ-${\displaystyle \ E}$ ל-${\displaystyle \ AB}$, וגובה ${\displaystyle \ h_{2}}$ מ-${\displaystyle \ D}$ ל-${\displaystyle \ AC}$.

מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, מקבלים: ${\displaystyle {\frac {\frac {h_{1}AB}{2}}{\frac {h_{1}AD}{2}}}={\frac {\frac {h_{2}AC}{2}}{\frac {h_{2}AE}{2}}}}$

לאחר צמצום, מקבלים: ${\displaystyle {\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AE}}}$

הרחבה שנייה

על הקטע ${\displaystyle \ BC}$, מסמנים נקודה ${\displaystyle \ M}$, כך ש-${\displaystyle \ DE=MC}$. מכיוון ש-${\displaystyle \ DE=MC}$ וש-${\displaystyle DE\|MC}$,‏ ${\displaystyle \ DECM}$ מקבילית, ולכן ${\displaystyle DM\|EC}$

לכן, על פי משפט תאלס, (כאשר מתייחסים לזווית ${\displaystyle \angle ABC}$) ${\displaystyle {\frac {BC}{MC}}={\frac {AB}{AD}}}$

נציב ${\displaystyle \ DE=MC}$, ונקבל ${\displaystyle {\frac {BC}{DE}}={\frac {AB}{AD}}}$

המשפט השני

משפט תאלס: ${\displaystyle \ B}$ היא זווית ישרה

בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה: אם הנקודות ${\displaystyle \ A}$ ,${\displaystyle \ B}$ ו-${\displaystyle \ C}$ מונחות על מעגל והקו ${\displaystyle \ AC}$ עובר דרך מרכז המעגל, אז הזווית ${\displaystyle \ \angle ABC}$ שווה לתשעים מעלות.

משפט זה היה ידוע ככל הנראה באופן אמפירי כבר למצרים והבבלים, אבל הם לא עסקו בהוכחות גאומטריות, וממילא לא סיפקו הוכחה גם למשפט זה. ההוכחה הראשונה מיוחסת לפילוסוף והגאומטרן היווני תאלס ממילטוס, שעל-שמו קרוי המשפט.

הוכחת המשפט

ההוכחה מסתמכת על שתי עובדות ידועות, שגם אותן מייחס אוקלידס בספרו, "יסודות", לתאלס.

• זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים, שוות זו לזו.
• סכום הזוויות במשולש שווה ל-180 מעלות.

הוכחת משפט תאלס

נסמן ב-${\displaystyle \ O}$ את מרכז המעגל. מכיוון שהנקודות ${\displaystyle \ A}$ ,${\displaystyle \ B}$ ו-${\displaystyle \ C}$ מונחות על המעגל, מתקיים ${\displaystyle \ OA=OB=OC}$, ולכן המשולשים ${\displaystyle \ OAB}$ ו-${\displaystyle \ OBC}$ שניהם שווי-שוקיים. לפי העובדה הראשונה שהוזכרה לעיל, ${\displaystyle \ \angle OBC=\angle OCB}$ וכן ${\displaystyle \ \angle BAO=\angle ABO}$. נסמן את הזווית הראשונה באות ${\displaystyle \ \delta }$, ואת השנייה באות ${\displaystyle \ \gamma }$. סכום הזויות במשולש ABC הוא ${\displaystyle \ 2\delta +2\gamma =180^{\circ }}$, ואם נחלק את שני האגפים בשניים ונקבל ${\displaystyle \ \gamma +\delta =90^{\circ }}$.

ניסוח סימטרי והכללה

המשפט, כפי שהוצג כאן, קובע שאם משולש חסום במעגל באופן שאחת מצלעותיו היא קוטר, אז המשולש הוא ישר-זווית. גם ההפך נכון, וכך אפשר לנסח את המשפט באופן סימטרי:

• המרכז של מעגל החוסם משולש מונח על אחת הצלעות, אם ורק אם המשולש ישר-זווית.

משפט תאלס הוא מקרה פרטי של המשפט שלפיו זווית מרכזית המונחת על מיתר במעגל כפולה תמיד מן הזווית ההיקפית.

שימוש

משפט תאלס השני משמש למשל:

• באחת מהוכחות משפט התלתן.
• בהוכחת משפט אוילר בגאומטריה.

מקור השם

השם לשני המשפטים ניתן במחצית השנייה של המאה ה-19 בצרפת ובאיטליה מחד ובגרמניה מאידך. באותה עת גברה ההתעניינות בהיסטוריה של המתמטיקה והתחקות אחר מקורותיה. לכך התחבר צורך דידאקטי: לתת שמות למשפטים שנחשבו מרכזיים בספרי הלימוד. בחירת שמות מתמטיקאים מהעת העתיקה ובפרט מיוון, ערש התרבות המערבית, עשוי היה להקנות ערכים של חשיבות ומסורת^[1]. שני משפטים אלה (או הקרובים להם מאוד) הם מבין חמשת המשפטים הידועים כהישגיו של תאלס, אך אין עדויות לכך שהוכיח אותם.

הבחירת במשפטים שונים בצרפת ובגרמניה היא עדות לשוני בשתי המדינות בגישה לגאומטריה. הצרפתים הושפעו מספרו של אדריאן-מארי לז'נדר "יסודות בגאומטריה". לז'נדר הקדים את חקירת המעגל (פרק שלישי בספר יסודות של אוקלידס) לחקירת המשולש והמקבילית (פרקים ראשון ושני). הגאומטריה האפינית והגאומטריה הפרויקטיבית שהתפתחו באותה תקופה העמידו במרכז את היחסים בין קטעים בעוד שאצל אוקלידס הם מופיעים בפרק שש כדמיון משולשים. הפיכת סדר הפרקים הצביעה על שינוי מהותי בתפישה. לפיכך בחרו הצרפתים במשפט שדן ביחסים בין קטעים. הגרמנים דגלו בגאומטריה האוקלידית, הקפידו על הסדר שבספרו ומרכזיות משפט פיתגורס ולכן בחרו במשפט שמתחבר לנושא המשולש (משולש התחום במעגל).

מדינות שהושפעו מהגישה הצרפתית היו: ספרד, בלגיה ורוסיה. מדינות שהושפעו מהגישה הגרמנית היו: אוסטריה, הונגריה וצ'כוסלובקיה. עד שנות העשרים של המאה ה-20 ספרי הלימוד ביוון בחרו בגישה הגרמנית ואז זו הוחלפה בגישה הצרפתית. באנגליה וארצות-הברית לא נעשה שימוש בשמו של תאלס למשפטים אלה באותה תקופה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט תאלס בוויקישיתוף

• סבינה שטוקר-סגרה, משפט תאלס: שתי הוכחות, באתר מכון דוידסון, דצמבר 2013
• משפט תאלס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. מאמר באנגלית: משפט תאלס: מחקר על מתן שמות למשפטים בספרי גאומטריה לבתי הספר http://journals.tc-library.org/index.php/hist_math_ed/article/viewFile/189/184