משפט קרנו (גאומטריה)

בגאומטריה אוקלידית, משפט קרנו קובע שסכום המרחקים של צלעות משולש שרירותי ABC ממרכז המעגל החוסם אותו D הוא:

כאשר r הוא רדיוס המעגל החסום במשולש ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם אותו. בנוסחה זאת סימן המרחקים נלקח כשלילי אם ורק אם הקטע DX (X = F, G, H) נח כולו מחוץ למשולש. באיור, DF שלילי בעוד ש-DG ו-DH חיוביים.

המשפט נקרא על שם המתמטיקאי והמדינאי הצרפתי לזאר קרנו (1753–1823), ונעשה בו שימוש להוכחת המשפט היפני למצולעים ציקליים.

הוכחה

נתייחס למשולש חד זווית ABC, כך שמרכז המעגל החוסם D נמצא בתוך המשולש וכל המרחקים חיוביים. נגדיר , וכן נסמן ב- את אורכי האנכים המורדים ממרכז המעגל החוסם לצלעות המשולש, כלומר את , בהתאמה. בכל אחד מהמרובעים סכום זוויות מנוגדות הוא 180 מעלות, ולכן כולם מרובעים ציקליים, מה שמאפשר יישום של משפט תלמי, התקף למרובעים אלו:

מכיוון ששלושת האנכים ממרכז המעגל החוסם לצלעות המשולש הם גם אנכים אמצעיים, אחד משני האלכסונים בכל מרובע ציקלי כזה הוא קטע אמצעים במשולש ABC ומכאן שווה למחצית צלע מתאימה של המשולש, ולכן ניתן לכתוב מחדש את שלוש המשוואות בעזרת הסימון המקוצר הזה:

אם נחבר את כל המשוואות נקבל:

כאשר הגדרנו כאן (מחצית היקף המשולש ABC). מכאן נקבל:

כנדרש.

במקרה שאחת מזוויות המשולש קהה ומרכז המעגל החוסם מצוי מחוץ למשולש, אז יש לערוך שינויים קלים בטיעון. במקרה זה, שניים מהמרובעים אינם מוכלים כולם במשולש ABC; ניתן להראות שבמקרה זה שני המרובעים הללו עדיין ציקליים, אך שני האלכסונים שלהם יסומנו כמו שתיים מהצלעות שלהם במקרה הקודם שבו המרובעים היו בתוך המשולש - כך למשל, במרובע DFHC שבאיור לעיל הצלע HF מסומנת כמו האלכסון HF במקרה החד-זווית; כלומר כאשר מזיזים את קודקודי המשולש לאורך המעגל החוסם, אז במעבר של מרכז המעגל החוסם מפנים המשולש לחלקו החיצוני האלכסונים וחלק מהצלעות "מתחלפים". כתוצאה מכך, בתחילת הטיעון יופיעו שלוש משוואות זהות למעט סימן שלילי של x, בעוד שבסוף הטיעון נקבל ש-, זאת משום שכעת יש לחסר את שטח משולש ADC כדי לקבל את שטח משולש ABC; שינויים אלו מביאים לכך שבמקרה הקהה זווית התוצאה המתקבלת היא:

.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא משפט קרנו בוויקישיתוף

Read other articles:

Eremburga dari Mortain (Eremburge de Mortain)[1] merupakan istri kedua Comte Ruggeru I dari Sisilia dan dengan demikian comtesse kedua Sisilia.[2][3] Eremburga sangat tidak jelas dan rincian hidupnya hampir tidak kita ketahui hari ini. Sekeping koin suami Eremburga Ayahandanya adalah William, Comte Mortain[4] atau Robert, Comte Eu dan jika ia adalah ayahanda Eremburga, berarti ibundanya bernama Beatrix.[5] Roger menikahi Eremburga pada tahun 1077 dan me...

 

  此條目介紹的是阪神电气铁道的尼崎站。关于西日本旅客铁道(JR西日本)的尼崎站,请见「尼崎站 (JR西日本)」。 尼崎站日语名称尼崎 – あまがさき – Amagasaki车站概览位置 日本兵庫縣尼崎市東御園町93番地地理坐标34°43′7.18″N 135°25′2.31″E / 34.7186611°N 135.4173083°E / 34.7186611; 135.4173083车站构造站体类型高架車站站台四面六線

 

Serie A 1963/64 El equipo del Bologna 1963–64Datos generalesSede Italia ItaliaFecha 14 de septiembre de 1963 — 31 de mayo de 1964Edición 62Organizador Lega Nazionale ProfessionistiPalmarésPrimero BolognaSegundo InterTercero MilanDatos estadísticosParticipantes 18Partidos 306Goles 647Goleador Harald Nielsen (Bologna, 21) Cronología Serie A 1962/63 Serie A 1963/64 Serie A 1964/65 [editar datos en Wikidata] La Serie A 1963–64 fue la 62.ª edición del campeonato de fútb...

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2022. Satoru adalah nama Jepang. Tokoh-tokoh dengan nama Jepang ini antara lain: Pemain sepak bola Jepang Satoru Asari Satoru Hayashi Satoru Hoshino Satoru Kashiwase Satoru Kobayashi Satoru Kokubo Satoru Makino Satoru Maruoka Satoru Mochizuki Satoru Noda Sa...

 

SustainableSingel oleh AKB48Dirilis18 September 2019 (2019-09-18)FormatCDunduhan digitalGenreJ-popDurasi4:24LabelKingKronologi singel AKB48 Jiwaru Days (2019) Sustainable (2019) Shitsuren, Arigatou (2020) Sustainable (error: {{nihongo}}: Butuh teks Jepang atau romaji (bantuan), SASUTENABURU) adalah single ke-56 karya grup idola Jepang AKB48. Singel tersebut dirilis di Jepang oleh King Records pada 19 September 2019, dalam tujuh versi yaitu 3 tipe limited dengan bonus tiket event (Tipe A,...

 

Pasar KrangganLokasiKota Yogyakarta, Daerah Istimewa YogyakartaKoordinat7°46′57″S 110°21′56″E / 7.782615°S 110.365517°E / -7.782615; 110.365517Koordinat: 7°46′57″S 110°21′56″E / 7.782615°S 110.365517°E / -7.782615; 110.365517AlamatJalan Pangeran Diponegoro no.29Kelurahan Gowongan, Kemantrèn JetisKota Yogyakarta 55233Tanggal dibukaAbad ke-19PengurusDinas Perdagangan Kota YogyakartaJumlah toko dan jasa863[1]Akses t...

Kebun DaubignySenimanVincent van GoghTahun1890MediumMinyak di kanvasUkuran56 cm × 101 cm (22 in × 39.8 in)LokasiKunstmuseum Basel, Basel Taman DaubignySenimanVincent van GoghTahun1890MediumMinyak di kanvasUkuran56 cm × 101 cm (22 in × 39.8 in)LokasiMuseum Seni Rupa Hiroshima, Hiroshima Kebun Daubigny, yang dilukis sebanyak tiga kali oleh Vincent van Gogh, menggambarkan kebun milik Charles-François Daubign...

 

Fold in the inner membrane of a mitochondrion For other uses, see Crista (disambiguation). Cell biologymitochondrionComponents of a typical mitochondrion 1 Outer membrane 1.1 Porin 2 Intermembrane space 2.1 Intracristal space 2.2 Peripheral space 3 Lamella 3.1 Inner membrane 3.11 Inner boundary membrane 3.12 Cristal membrane 3.2 Matrix 3.3 Cristæ   ◄ You are here 4 Mitochondrial DNA 5 Matrix granule 6 Ribosome 7 ATP synthase A crista (/ˈkrɪstə/; plural cristae) is a fold in the inn...

 

1952 French filmForbidden GamesTheatrical release posterDirected byRené ClémentWritten byJean AurenchePierre BostBased onLes Jeux Interditsby François BoyerProduced byRobert DorfmannStarringGeorges PoujoulyBrigitte FosseyAmédéeCinematographyRobert JuillardEdited byRoger DwyreMusic byRobert de Visée and anon, music performed by Narciso YepesProductioncompaniesSilver FilmsMetro-Goldwyn-MayerDistributed byLes Films CoronaLoew´s (USA)Release dates 9 May 1952 (1952-05-09) ...

Internasional Astrophysical Observatory GRANAT (biasanya dikenal sebagai Granat; Rusia: Гранат), adalah observatorium ruang angkasa Soviet (kemudian Rusia) dikembangkan bekerja sama dengan Prancis, Denmark dan Bulgaria. Ini diluncurkan pada 1 Desember 1989 dengan roket Proton dan ditempatkan dalam orbit empat hari yang sangat eksentrik, yang tiga di antaranya dikhususkan untuk pengamatan. Itu beroperasi selama hampir sembilan tahun. Pada September 1994, setelah hampir lima tahun pengama...

 

Describes the range of energies of an electron within the solid Electronic structure methods Valence bond theory Coulson–Fischer theoryGeneralized valence bondModern valence bond theory Molecular orbital theory Hartree–Fock methodSemi-empirical quantum chemistry methodsMøller–Plesset perturbation theoryConfiguration interactionCoupled clusterMulti-configurational self-consistent fieldQuantum chemistry composite methodsQuantum Monte Carlo Density functional theory Time-dependent density...

 

Cet article est une ébauche concernant une station de métro et Mexico. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Isabel la Católica Accès à la station. Localisation Pays Mexique Ville Mexico Coordonnéesgéographiques 19° 25′ 36″ nord, 99° 08′ 16″ ouest Géolocalisation sur la carte : Mexico Caractéristiques Historique Mise en service 4 septembre 1969 Gesti...

2010 studio album by 2NE1To AnyoneStudio album by 2NE1ReleasedSeptember 9, 2010 (2010-09-09)Recorded2009–2010Genre K-pop pop dance-pop electropop synthpop R&B hip hop Length43:45Label YG Entertainment CJ E&M Producer Teddy Park e.knock PK Big Tone Sunwoo Jungah Choice37 2NE1 chronology 2NE1(2009) To Anyone(2010) 2NE1(2011) Singles from To Anyone Clap Your HandsReleased: September 8, 2010 Go AwayReleased: September 9, 2010 Can't NobodyReleased: September 11, 20...

 

Pulau terbesar Pulau Wight, dengan Pulau Portsea dan Pulau Hayling juga terlihat di kanan atas Peringkat Pulau Luas (sq mi) (km2) 1 Pulau Wight 118.97 380.15 2 Pulau Sheppey 34.45 89.25 3 Pulau Foulness 11.31 29.30 4 Pulau Portsea 9.47 24.54 5 Pulau Canvey 6.96 18.04 6 Pulau Mersea 6.92 17.94 7 Pulau Hayling 6.13 15.89 8 Pulau Walney 5.12 13.27 9 Pulau Wallasea 4.11 10.65 10 St Mary's 2.54 6.58 11 Lundy 1.72 4.45 12 Tresco 1.15 2.97 13 St Agnes 0.57 1.48 14 Bryher 0.51 1.34

 

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: Magna Carta College – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2020) (Learn how and when to remove this template message) The topic of this art...

Ciclosporina Nombre (IUPAC) sistemático [R-[[R*,R*-(E)]]-(L-alanil-D-alanil- N-metil-L-leucil-N-metil-L-leucil- N-metil-L-valil-3-hidroxi-N,4-dimetil-L-2-amino-6-octenil-L-α-amino-butiril-N-metilglicil-N-metil-L-leucil-L-valil- N-metil-L-leucil)cíclicoIdentificadoresNúmero CAS 59865-13-3Código ATC L04AA01PubChem 2909DrugBank DB00091Datos químicosFórmula C62H111N11O12 Peso mol. 1202,61FarmacocinéticaBiodisponibilidad VariableMetabolismo HepáticoVida media Variable (alrededor de 2...

 

1998 single by Reba McEntireForever LoveSingle by Reba McEntirefrom the album If You See Him B-sideAll This TimeReleasedJuly 15, 1998GenreCountryLength3:53LabelMCA Nashville 72062Songwriter(s) Liz Hengber Deanna Bryant Sunny Russ Producer(s) David Malloy Reba McEntire Reba McEntire singles chronology If You See Him/If You See Her (1998) Forever Love (1998) Wrong Night (1998) Forever Love is a song recorded by American country music artist Reba McEntire from her studio album, If You See Him (1...

 

The Phantom Freighter Original coverAuthorFranklin W. DixonCountryUnited StatesLanguageEnglishSeriesThe Hardy BoysGenreDetective, mysteryPublisherGrosset & DunlapPublication dateJanuary 1, 1947Media typePrint (hardback & paperback)Pages192 ppPreceded byThe Secret Panel Followed byThe Secret of Skull Mountain  Children's literature portalNovels portal The Phantom Freighter is Volume 26 in the original The Hardy Boys Mystery Stories published by Grosset & Du...

1918–1920 anti-Bolshevik republic in Eastern Europe Don Republic (1918–19)Донская республикаAlmighty Don Host (1919–20)Всевеликое войско Донское1918–1920 Flag Coat of arms Anthem: Всколыхнулся, взволновался православный Тихий Дон (It has shaken, has stirred the Orthodox quiet Don)Map of the Don Host Oblast (green)CapitalNovocherkasskCommon languagesRussian, UkrainianReligion Eastern Orthodoxy...

 

Ogden DjunsOgden Dunes Osnovni podaci Država  Sjedinjene Američke Države Savezna država  Indijana Okrug Porter Stanovništvo Stanovništvo (2010) 1.110 Gustina stanovništva 2,9 st./km² Geografija Koordinate 41°37′22″N 87°11′30″W / 41.622815°N 87.191702°W / 41.622815; -87.191702 Vremenska zona UTC-5, leti UTC-4 Nadmorska visina 186 m Površina 3,78 km² Kopnena površina 1,92 km² Vodena površina 1,86 km² Ogden DjunsOgden Djuns (Sjedinjeni...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!