משפט סקולם-נתר

משפט סקולם-נתר הוא משפט באלגברה המאפיין את האוטומורפיזמים של אלגבראות פשוטות סוף ממדיות, וקובע כי כולם מהווים הצמדה באיבר הפיך. המשפט הוכח לראשונה על ידי תורלף סקולם בשנת 1927. אמי נתר הוכיחה אותו מאוחר יותר באופן בלתי תלוי. זהו משפט בסיסי בתורת האלגבראות פשוטות מרכזיות, המהווה כלי עזר מרכזי בתאוריה.

ניסוח

תהי ${\displaystyle A}$ אלגברה פשוטה מרכזית מעל שדה ${\displaystyle F}$, ויהיו ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ תת-אלגבראות פשוטות איזומורפיות שלה. אז כל איזומורפיזם ${\displaystyle \phi :A_{1}\to A_{2}}$ הוא הצמדה באיבר הפיך מ-${\displaystyle A}$.

הוכחה

נביט באלגברה ${\displaystyle T=A_{1}\otimes _{F}A^{op}}$, כאשר ${\displaystyle \otimes }$ היא המכפלה הטנזורית, ו-${\displaystyle op}$ הוא החוג המנוגד. מכיוון ש-${\displaystyle A^{op}}$ אלגברה פשוטה מרכזית מעל ${\displaystyle F}$ וכן ${\displaystyle A_{1}}$ אלגברה פשוטה, נובע כי ${\displaystyle T}$ אלגברה פשוטה. ${\displaystyle A}$ היא מודול מעל ${\displaystyle T}$ בשתי דרכים: פעם אחת על ידי הפעולה ${\displaystyle (a\otimes y)r=ary}$ (נסמנו ${\displaystyle M_{1}}$), ופעם נוספת על ידי הפעולה ${\displaystyle (a\otimes y)r=\phi (a)ry}$ (נסמנו ${\displaystyle M_{2}}$).

יהי ${\displaystyle M_{0}}$ המודול הפשוט היחיד של ${\displaystyle T}$ (קיים כי היא פשוטה ארטינית). מתקיים ${\displaystyle M_{1}\cong M_{0}^{k}\cong M_{2}}$, כאשר ${\displaystyle k={\frac {[A:F]}{[M_{0}:F]}}}$. בפרט, המודולים איזומורפיים, נניח על ידי איזומורפיזם ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$. על פי הגדרת הפעולות, מתקיים ${\displaystyle f(ary)=\phi (a)f(r)y}$. האיבר ${\displaystyle u=f(1)}$ מקיים את הדרוש בטענת המשפט: על ידי הצבת ${\displaystyle y=r=1}$ מקבלים $${\displaystyle ua=\phi (1)f(1)a=f(a)=\phi (a)f(1)1=\phi (a)u}$$ מכאן ${\displaystyle ua=f(a)=\phi (a)u}$ לכל ${\displaystyle a\in A}$. אם נציב במקום ${\displaystyle a}$ את ${\displaystyle v=f^{-1}(1)}$ נקבל ${\displaystyle uv=1=\phi (v)u}$ ולכן ${\displaystyle u}$ הפיך.

דוגמאות שימוש

תוך שימוש במשפט, ניתן להוכיח טענות רבות מהתחום:

• המשפט הקטן של ודרברן: כל חוג סופי עם חילוק הוא שדה.
• כל אלגברה פשוטה מרכזית מממד 4 (מעל שדה ממאפיין לא 2) איזומורפית לאלגברת קווטרניונים.
• הוכחת תכונות מבנה של אלגבראות ציקליות.

לקריאה נוספת

* Rowen, Graduate Algebra: Noncommutative View, p.460-461