בשנת 1997 הצטרף אודום לאוניברסיטת נבאדה, ונרשם למספר קורסי קיץ. בעקבות סקנדל אקדמי בו הייתה מעורבת האוניברסיטה. חקירת הנהלת ה-NCAA העלתה כי אודום קיבל סכום של 5,600 דולר.[3] בעקבות המקרה פוטר מאמן המכללה, ביל ביינו, והמכללה הושעתה ממשחקים לארבע שנים. אודום עבר למכללת רוד איילנד, אך נאלץ לצפות בחבריו מהצד במשך עונת 1997/1998. הוא שיחק במשך עונה אחת במדי המכללה, רשם ממוצעים של 17.6 נקודות, והוליך את קבוצתו לאליפות בית האטלנטיק-10.
קריירת ה-NBA
השנים הראשונות
לאחר עונת ה"פרשמן" הודיע אודום כי יתמודד בדראפט של שנת 1999, ונבחר על ידי הלוס אנג'לס קליפרס בבחירה הרביעית. במשחק הבכורה שלו בקבוצה רשם אודום 30 נקודות ו-12 ריבאונדים. את עונת הרוקי שלו סיים אודום בממוצעים של 16.6 נקודות, 7.8 ריבאונדים ו-4.2 אסיסטים, ונבחר לחמישיית הרוקיז הראשונה. בנובמבר 2001, הורחק אודום על ידי מנהלת הליגה לאחר שנתפס והודה בשימוש במריחואנה.[4]
לאחר ארבע עונות בהן שיחק במדי הקליפרס, עבר אודום לקבוצת מיאמי היט לקראת עונת 2003/2004. בשיתוף הפעולה עם הרוקי דוויין וייד, הפך אודום לאחד משחקניה הבולטים של הקבוצה ורשם ממוצעים של 17.1 נקודות, 4.1 אסיסטים ו-9.7 ריבאונדים למשחק. את העונה סיימה מיאמי במאזן של 42 ניצחונות מול 40 הפסדים ואודום העפיל למשחקי הפלייאוף לראשונה בקריירה. במשחקי הפלייאוף המשיך אודום את יכולתו הטובה ורשם 16.8 נקודות, 8.3 ריבאונדים ו-2.8 אסיסטים. מיאמי הודחה מהפלייאוף לאחר ניצחון בשבעה משחקים מול ניו אורלינס הורנטס בסיבוב הראשון, והפסד בשישה משחקים מול אינדיאנה פייסרס של רג'י מילר בסיבוב השני.
בסיום העונה זומן אודום לסגל נבחרת ארצות הברית והשתתף עימה בטורניר הכדורסל של אולימפיאדת אתונה. בטורניר שותף אודום בשמונת משחקיה של נבחרתו, ורשם שורה סטטיסטית של 9.25 נקודות ו-5.75 ריבאונדים בדרך לזכייה במדליית הארד.[5]
לוס אנג'לס לייקרס
לאחר העונה הטובה במיאמי, עבר אודום בטרייד ביחד עם בריאן גרנט וקארון באטלר ללוס אנג'לס לייקרס בתמורה לשאקיל אוניל, אך פציעה בכתפו השביתה אותו מפעילות למשך כל עונת 2004/2005. ללא עזרתו של אודום, כשלה הקבוצה מלהעפיל לפלייאוף בפעם החמישית בלבד בתולדותיה. בסיום העונה הכושלת, חזר מאמן העבר של הקבוצה פיל ג'קסון לעמוד על הקווים.
במחצית הראשונה של עונת 2005/2006 הפגין אודום חוסר יציבות, אך הלך והשתפר ככל שהעונה התקדמה. הוא רשם שני טריפל דאבל רצופים לראשונה בלייקרס נגד גולדן סטייט ווריורס ופורטלנד טרייל בלייזרס והעפיל עם הקבוצה לפלייאוף בו הודחה הקבוצה כבר בסיבוב הראשון מול פיניקס סאנס בשבעה משחקים, לאחר שכבר הובילו 1–3 בסדרה. בעונת 2006/2007 נאבק אודום בפציעות, ושותף רק ב-56 משחקים במהלך העונה. במשחקים בהם שותף רשם אודום ממוצעים של 15.9 נקודות ו-9.8 ריבאונדים. הלייקרס העפילו לפלייאוף, אך הודחו בסיבוב הראשון מול פיניקס בשחזור של הסדרה מהעונה הקודמת.
עם פציעתו החמורה של אנדרו ביינום בפיקת הברך בעונת 2007/2008, והגעתו של פאו גאסול לקבוצה באמצע העונה, שיחק אודום היטב ורשם ממוצעים של 14.2 נקודות, 10.6 ריבאונדים ו-3.5 אסיסטים למשחק. הלייקרס העפילו עד לסדרת הגמר של ה-NBA שם הפסידו לבוסטון סלטיקס בשישה משחקים, כשאודום קולע 13.5 נקודות ומוריד 9.0 ריבאונדים לערב.[6]
עם תחילת עונת 2008/2009 איבד אודום את מקומו בחמישייה של הלייקרס, ותפקד כשחקן שישי כגיבוי לביינום וגאסול, אך חזר לחמישייה הפותחת עם פציעתו של ביינום במשחק מול ממפיס גריזליס בינואר. אודום אף קלע 15 נקודות ברבע השלישי, ו-28 נקודות בסך הכל במשחק החוץ מול קליבלנד קאבלירס, תוך שהוא עוזר לקבוצתו להפוך פיגור של 12 נקודות לניצחון ב-10 נקודות ולשבור לקליבלנד רצף של 23 משחקי בית ללא הפסד.[7] כשחזר ביינום מהפציעה, שב אודום לספסל הקבוצה, וסיים את העונה עם ממוצעים של 11.3 נקודות, 8.2 ריבאונדים, 2.6 אסיסטים, 1.0 חטיפות ו-1.7 חסימות למשחק. הלייקרס סיימו את העונה עם המאזן הטוב ביותר במערב עם 65 ניצחונות ו-17 הפסדים. בפלייאוף של אותה העונה חלפו הלייקרס על פני יוטה ג'אז, יוסטון רוקטס ודנוור נאגטס בדרך לגמר ה-NBA בו פגשו את אורלנדו מג'יק. את סדרת הגמר ניצחה הלייקרס בחמישה משחקים תוך שאודום רושם ממוצעים של 13.4 נקודות ו-7.8 ריבאונדים בדרך לזכייה ראשונה שלו בתואר האליפות.[8] בסיום העונה תם חוזהו של אודום בלוס אנג'לס, והוא הפך לשחקן חופשי. למרות חיזורים אינטנסיביים של קבוצתו לשעבר מיאמי היט וניסיונות שכנוע של חברו לשעבר לקבוצה דוויין וייד שיחזור לשתף עמו פעולה, חתם אודום על חוזה חדש בלייקרס לארבע שנים תמורת 33 מיליון דולר.[9] בעונה העוקבת, עונת 2009/2010, זכה אודום עם הלייקרס באליפות שנייה ברציפות לאחר ניצחון בגמר ה-NBA על בוסטון סלטיקס בשבעה משחקים.[10]
בעונת 2010/2011 הראה אודום שיפור ביכולתו, הוא סיים את העונה עם אחוזי הקליעה הגבוהים ביותר בקריירה, הן מהשדה והן מקו שלוש הנקודות, וזכה בתואר השחקן השישי של העונה ב-NBA. הוא סייע לקבוצתו לסיים את העונה עם המאזן השני בטיבו במערב, ולנצח את ניו אורלינס הורנטס בסיבוב הראשון של משחקי הפלייאוף. בסיבוב השני של המשחקים, הודחה הקבוצה בסוויפ מול דאלאס מאבריקס שהמשיכה וזכתה באליפות.
שלהי הקריירה
לקראת עונת 2011/2012 עבר אודום בטרייד לדאלאס תמורת בחירת דראפט העתידית. בראשית חודש מרץ הוא החמיץ שלושה משחקים בשל סיבות אישיות, ולאחריהם העבירה אותו הקבוצה לשורותיה של טקסס לג'נדס מליגת הפיתוח,[11] אך השיבה אותו למועדון כבר למחרת.[12] הוא שותף במהלך העונה ב-50 משחקים, מהם בארבעה בלבד עלה בחמישייה הפותחת, והציג יכולת חלשה ונתונים סטטיסטיים הגרועים ביותר בקריירה. באפריל הודיעה הקבוצה כי אודום לא ימשיך בשורותיה בעונה הבאה, אך סימנה אותו כשחקן בלתי פעיל, ולא שחררה אותו בפועל, צעד שנועד לאפשר לקבוצה להעבירו בטרייד בסיום העונה.[13]
בסיום העונה שב אודום לוס אנג'לס קליפרס, הקבוצה שבחרה אותו בדראפט, בעסקת חליפין שכללה ארבע קבוצות ובה עבר גם מו ויליאמס ליוטה ג'אז.[14] לאחר עונה אחת בקליפרס תם חוזהו של אודום בקבוצה, והוא הפך לשחקן חופשי.
בפברואר2014 חתם אודום לחודשיים בקבוצת קאחה לבוראל ויטוריה מליגת העל הספרדית בכדורסל, עם אפשרות להארכת החוזה עד לסיום העונה. הוא שותף בשני משחקים בלבד בקבוצה - אחד בליגה הספרדית ואחד ביורוליג[15] בטרם עזב את הקבוצה. בחודש אפריל באותה השנה הוא חתם על חוזה בניו יורק ניקס עד לסיום העונה, אולם שוחרר מהקבוצה ללא ששיחק במדיה.
ב-14 באוקטובר 2015, נמצא למאר אודום חסר הכרה בבית בושת בנבדה, לאחר שהתמוטט במקום.[23] בתום אשפוז ממושך ושיקום אינטנסיבי, עזב את בית החולים בתחילת 2016.
בשנת 2019 השתתף בעונה ה-28 של תוכנית המציאות האמריקאית "רוקדים עם כוכבים", שם היה למודח השני.
בשנת 2022 השתתף בתוכנית המציאות "האח הגדול" גרסת VIP.
