כיסוי

במתמטיקה, ובעיקר בטופולוגיה, כיסוי של קבוצה הוא משפחה של קבוצות שאיחודן מכיל את הקבוצה הנתונה.

הגדרה

כיסוי של קבוצה ${\displaystyle X}$ הוא משפחה של תת-קבוצות ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{C_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$ המקיימת ${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}C_{\alpha }}$.

משפחה ${\displaystyle {\mathcal {C}}'\subset {\mathcal {C}}}$ נקראת תת-כיסוי, אם גם ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ מהווה כיסוי של ${\displaystyle X}$.

אם ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}}$ זוג כיסויים של קבוצה כלשהי, אומרים כי ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ הוא עידון של ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, אם לכל איבר ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ קיים איבר ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$ המקיים ${\displaystyle C\subset D}$.

בטופולוגיה

בהקשר הטופולוגי, יש חשיבות רבה לכיסויים פתוחים, שבכל אחד מהם כל הקבוצות הן קבוצות פתוחות. כלומר כיסוי כזה מכונה כיסוי פתוח.

כיסוי פתוח ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{C_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$ של מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ נקרא סופי נקודתית, אם כל נקודה ${\displaystyle x\in X}$ שייכת רק למספר סופי של קבוצות בכיסוי. כמו כן הוא נקרא סופי מקומית, אם לכל ${\displaystyle x\in X}$ קיימת סביבה פתוחה ${\displaystyle x\in U\subset X}$, כך שהקבוצה ${\displaystyle \left\{\alpha \in A\mid C_{\alpha }\cap U\neq \emptyset \right\}}$ סופית.

מושג הכיסוי משמש להגדרת מושגים יסודיים בטופולוגיה:

• מרחב טופולוגי נקרא קומפקטי, אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים תת-כיסוי סופי.
• מרחב טופולוגי נקרא לינדלף, אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים תת-כיסוי בן מניה.
• מרחב טופולוגי נקרא מטא-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים עידון המהווה כיסוי פתוח סופי נקודתית.
• מרחב טופולוגי נקרא פרא-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו קיים עידון המהווה כיסוי פתוח סופי מקומית.

דוגמאות

באופן טריוויאלי, לכל קבוצה ${\displaystyle X}$, האוסף המנוון ${\displaystyle \left\{X\right\}}$ הוא כיסוי של ${\displaystyle X}$.

בנוסף, לכל תת-קבוצה ${\displaystyle Y\subset X}$, האוסף ${\displaystyle \left\{Y,Y^{c}\right\}}$ הוא כיסוי של ${\displaystyle X}$.

אם ${\displaystyle X}$ קבוצה סדורה, אז לכל ${\displaystyle x,y\in X}$ ניתן להגדיר ${\displaystyle C_{x,y}=\left\{z\in X\mid x\leq z<y\right\}}$, ואז האוסף ${\displaystyle \left\{C_{x,y}\right\}_{x,y\in X}}$ מהווה כיסוי.

בהקשר הטופולוגי, המקרה האחרון הוא כיסוי פתוח שמוגדר להיות התת-בסיס של סיגמא-אלגברת בורל.

ראו גם

• כיסוי בזיקוביץ'

קישורים חיצוניים

• כיסוי, באתר MathWorld (באנגלית)