יריעה אבלית

בגאומטריה אלגברית יריעה אבלית היא חבורה אלגברית קשירה אשר בתור יריעה אלגברית היא יריעה שלמה. זה גורר שהיא גם יריעה פרויקטיבית וגם חבורה קמוטטיבית.^[1]

בהקשרים מסוימים מדברים גם על יריעות אבליות לא קשירות. במקרה כזה, נהוג להוסיף את דרישת הקומוטטיביות כדרישה נוספת משום שהיא לא נובעת אוטומטית מדרישת השלמות. הפרויקטיביות, נובעת מהשלמות גם במקרה הלא קשיר.

אם שדה ההגדרה הוא ${\displaystyle \mathbb {C} }$ אז קבוצת הנקודות של יריעה אבלית (קשירה) איזומורפית כחבורת לי לטורוס ממד זוגי (פעמיים ממד הירעה האבלית).

רכיב הקשירות של היחידה בחבורת הפיקאר של יריעה אלגברית שלמה וחלקה מהווה יריעה אבלית.

זו אחת הסיבות שבגללה יריעות אבליות מהוות תחום מחקר חשוב בגאומטריה אלגברית. אולם, מכיוון שהן קומוטטיבוית, הן אינן מהוות מוקד עינין משמעותי מנקודת מבט של תורת החבורות ותורת ההצגות.

למרות שמן יריעות אבליות אינן סוג של יריעות אלגבריות אלא סוג של חבורות אלגבריות.

עץ מיון של חבורות אלגבריות

חבורה אלגברית חבורה אלגברית                                                           חבורה ליניארית חבורה ליניארית       חבורה קשירה חבורה קשירה                       יריעה אבלית[2] יריעה אבלית[2]                                 עקום אליפטי עקום אליפטי   חבורה רדוקטיבית[3] חבורה רדוקטיבית[3]   חבורה סופית חבורה סופית   חבורה ליניארית פתירה[3] חבורה ליניארית פתירה[3]   חבורה פשוטת קשר חבורה פשוטת קשר                                                       חבורה קלאסית[4] חבורה קלאסית[4]   חבורה פשוטה למחצה[3] חבורה פשוטה למחצה[3]   טורוס טורוס ${\displaystyle \,\cap }$   חבורת המטריצות המשולשיות חבורת המטריצות המשולשיות   חבורה אוניפוטנטית[5] חבורה אוניפוטנטית[5]                                                   חבורה כמעט פשוטה[6] חבורה כמעט פשוטה[6]   ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$           חבורת המטריצות המשולשיות האוניפוטנטיות חבורת המטריצות המשולשיות האוניפוטנטיות                           ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$                   חבורה פשוטה[7] חבורה פשוטה[7] ${\displaystyle \,\cup }$   חבורה פשוטת קשר כמעט פשוטה חבורה פשוטת קשר כמעט פשוטה ${\displaystyle \,\cup }$                                                       מקרא   מחלקה של חבורות אלגבריות או חבורה אלגברית בודדות; שם התואר "אלגברית/אלגברי" מושמט בדרך כלל.   מחלקה חשובה בתורת החבורות האלגבריות. ${\displaystyle \cup }$ מחלקה שמכוסה על ידי תתי-המחלקות שלה המופיעות בתרשים, אם שדה ההגדה סגור אלגברית. ${\displaystyle \cap }$ מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.   מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה איזוגניה   חבורה בודדת   סידרה של חבורות   מחלקה של חבורות המהווה סידרה אחת עם שדה ההגדרה סגור אלגברית.   משפחה חד-פרמטרית של חבורת   קבוצה דיסקרטית של חבורות   משפחה רחבה יותר של חבורות   ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$     ${\displaystyle PGL_{n}}$ ${\displaystyle PGL_{n}}$   ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle SL_{n}}$               ${\displaystyle U(V)}$ ${\displaystyle U(V)}$     ${\displaystyle PU(V)}$ ${\displaystyle PU(V)}$   ${\displaystyle SU(V)}$ ${\displaystyle SU(V)}$             ${\displaystyle O(V)}$ ${\displaystyle O(V)}$   ${\displaystyle PO(V)}$ ${\displaystyle PO(V)}$   ${\displaystyle Spin(V)}$ ${\displaystyle Spin(V)}$                   ${\displaystyle Sp_{2n}}$ ${\displaystyle Sp_{2n}}$   ${\displaystyle PSp_{2n}}$ ${\displaystyle PSp_{2n}}$                     ${\displaystyle E_{6}}$ הפשוטה ${\displaystyle E_{6}}$ הפשוטה   ${\displaystyle E_{6}}$ פשוטת הקשר ${\displaystyle E_{6}}$ פשוטת הקשר             ${\displaystyle E_{7}}$ הפשוטה ${\displaystyle E_{7}}$ הפשוטה   ${\displaystyle E_{7}}$ פשוטת הקשר ${\displaystyle E_{7}}$ פשוטת הקשר         ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle E_{8}}$           ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle F_{4}}$           ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא יריעה אבלית בוויקישיתוף

• יריעה אבלית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. מילן פרק 1.1 עמוד 8
2. כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת אנו דורשים שהחבורה תהיה קומוטטיבית, דרישה זו נובעת מהפרויקיטיביות/שלמות עבור חבורות קשירות, אך לא במקרה הכללי.
3. כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה.
4. למושג "חבורה קלאסית" יש מספר משמעויות מקובלות. כל המשפחות שמופעות בדיאגרמה כאן תחת "חבורה קלאסית" נחשבות לכאלה על פי כל המשמעוית המוקובלות
5. כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת, מעל שדה ממציין 0, חבורה אוניפוטנטית היא תמיד קשירה (ופשוטת קשר), גם אם לא דרשים זאת בהגדרה.
6. לעיתים מושג זה נקרא "חבורה פשוטה".
7. כאן אנו משתמשים במוסכמה המצמצמת, שדורשת מחבורה פשוטה להיות חסרת מרכז. המושג ללא דרישה זו נקרא כאן "חבורה כמעט פשוטה".

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.