חבורה סדורה

חבורה סדורה (משמאל) היא חבורה שמוגדר עליה יחס סדר ליניארי, באופן כזה שאם ${\displaystyle a<b}$ אז גם ${\displaystyle ca<cb}$. חבורה היא ניתנת לסידור אם אפשר להגדיר עליה סדר ההופך אותה לחבורה סדורה. חבורה ניתנת לסידור משמאל אם ורק אם היא ניתנת לסידור מימין.

כל חבורה סדורה היא חבורה חסרת פיתול. כל חבורה אבלית חסרת פיתול ניתן לסדר. כל חבורת-קשר (חבורה יסודית של המשלים של קשר) ניתן לסדר.

המושג "חבורה סדורה" עשוי להתייחס גם לחבורה עם סדר חלקי (הנשמר תחת כפל מאחד או משני הצדדים). אחת המחלקות החשובות מסוג זה היא של חבורות שהסדר עליהן מהווה סריג (אנ').

טיפוסים של חבורות סדורות

• חבורה היא ניתנת לדו-סידור (biorderable) אם יש עליה יחס סדר ליניארי כזה שאם ${\displaystyle a<b}$ אז לכל ${\displaystyle c}$ מתקיים ${\displaystyle ca<cb}$ וגם ${\displaystyle ac<bc}$. (תכונה זו נשמרת תחת הרחבה מרכזית בתת-חבורה חסרת פיתול).
• חבורה היא בעלת אינדקסים מקומית (locally indicable) אם לכל תת-חבורה נוצרת סופית שלה יש הטלה על החבורה הציקלית האינסופית. כל חבורה הניתנת לדו-סידור היא בעלת אינדקסים מקומית. כל חבורה בעלת אינדקסים מקומית, ניתנת לסידור (אבל לא בהכרח לדו-סידור). כל חבורה פתירה (ואפילו אמנבילית) ניתנת לסידור היא בעלת אינדקסים מקומית.
• חבורה ניתנת לסידור היא בעלת שורשים יחידים (אם ${\displaystyle \ x^{n}=y^{n}}$ אז ${\displaystyle \ x=y}$).
• חבורה מקיימת את תכונת המכפלה היחידה אם לכל שתי תת-קבוצות לא ריקות ${\displaystyle A,B}$ יש במכפלה ${\displaystyle AB}$ איבר הניתן להצגה כ-${\displaystyle ab}$ באופן יחיד. כל חבורה ניתנת לסידור היא בעלת תכונת המכפלה היחידה, וההפך אינו נכון.
• כל חבורה בעלת תכונת המכפלה היחידה היא חסרת פיתול, וההפך אינו נכון. עם זאת, חבורה נילפוטנטית חסרת פיתול ניתנת לדו-סידור, ובפרט יש לה תכונת המכפלה היחידה.
• חבורה סדורה היא ארכימדית אם כל שני איברים חיוביים שלה הם ברי-השוואה (כלומר אחד מהם קטן מחזקה כלשהי של האחר; זו תכונת ארכימדס). חבורה סדורה ארכימדית מוכרחה להיות אבלית.

תכונת המכפלה היחידה (הנכונה כאמור בכל חבורה סדורה) גוררת את תכונת האיברים ההפיכים של קפלנסקי (לפיה באלגברת החבורה ${\displaystyle k[\Gamma ]}$ כל האיברים ההפיכים הם כפולות בסקלר של אברי החבורה). תכונת האיברים ההפיכים גוררת כי אלגברת החבורה היא תחום, וממילא היא נטולת אידמפוטנטים. מעל שדה ממאפיין אפס, אם אלגברת החבורה נטולת אידמפוטנטים אז החבורה בהכרח חסרת פיתול.

אפשר לתאר את יחס הסדר דרך קבוצת האיברים החיוביים: חבורה ניתנת לסידור משמאל אם יש בה תת-קבוצה P הסגורה לכפל כך שהחבורה מתפרקת לאיחוד זר ${\displaystyle P\cup \{1\}\cup P^{-1}}$ (כאשר ${\displaystyle P^{-1}=\{x^{-1}:x\in P\}}$). במקרה זה הסדר מוגדר לפי הכלל: ${\displaystyle a<b}$ אם ורק אם ${\displaystyle a^{-1}b\in P}$. חבורה ניתנת לדו-סידור אם יש בה קבוצה נורמלית כזו.

הדרגה של חבורה אבלית סדורה

תהי ${\displaystyle \Gamma }$ חבורה סדורה. תת-חבורה ${\displaystyle \Delta \leq \Gamma }$ היא קמורה אם לכל ${\displaystyle 0<\gamma <\delta \in \Delta }$ מתקיים ${\displaystyle \gamma \in \Delta }$. אם ${\displaystyle \Delta \leq \Gamma }$ תת-חבורה קמורה, על המנה ${\displaystyle \Gamma /\Delta }$ מושרה יחס סדר, ההופך גם אותה לחבורה סדורה. אוסף תת-החבורות הקמורות מהווה שרשרת, שגובהה הוא הדרגה ${\displaystyle \operatorname {rank} (\Gamma )}$. ממילא, ${\displaystyle \operatorname {rank} (\Gamma )=\operatorname {rank} (\Delta )+\operatorname {rank} (\Gamma /\Delta )}$.

בחבורה הסדורה ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ שרשרת תת-החבורות הקמורות היא ${\displaystyle 0\subset \mathbb {Z} }$, ודרגתה היא 1. לחבורה אבלית סדורה יש דרגה 1 אם ורק אם ניתן לשכן אותה בחבורה החיבורית של שדה המספרים הממשיים. באופן כללי יותר, כל חבורה אבלית סדורה מדרגה n אפשר לשכן ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ עם הסדר הלקסיקוגרפי. חבורה סדורה היא דיסקרטית אם יש לה שיכון דיסקרטי ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (עם הטופולוגיה הסטנדרטית); החבורות הדיסקרטיות היחידות הן מהצורה ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ (עם הסדר הלקסיקוגרפי). מכאן מתקבלת דיכוטומיה: חבורה אבלית סדורה היא או תת-חבורה של ${\displaystyle \mathbb {R} }$, או שהיא מכילה עותק של ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ (עם הסדר הלקסיקוגרפי).

החבורה האבלית ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\Gamma }$, שגם היא סדורה, נקראת הסגור החילוקי (divisible hull) של ${\displaystyle \Gamma }$. הדרגה של הסגור החילוקי שווה לזו של החבורה המקורית.

הכללות

• אלגברה סדורה (מעל שדה סדור) הוגדרה על ידי Kopytov ב-1972.