הפרדוקס של קנטור

הפרדוקס של קנטור הוא סתירה שנתגלתה בתורת הקבוצות הנאיבית. גילוי הסתירה מיוחס לאבי תורת הקבוצות עצמה, גאורג קנטור, שכנראה גילה אותה בין השנים 1895 ל-1899. פרדוקס זה, יחד עם פרדוקסים נוספים שהתגלו בתורת הקבוצות הנאיבית כגון הפרדוקס של ראסל והפרדוקס של בורלי-פורטי, נתנו מוטיבציה והובילו לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית, שבה ניתן לתורת הקבוצות בסיס אקסיומטי מוצק, המונע הופעתן של סתירות אלו. הפרדוקס עוסק בקבוצת כל הקבוצות ומראה שקיומה גורם לסתירה.

תיאור הפרדוקס

בתורת הקבוצות הנאיבית ניתן להגדיר את קבוצת כל הקבוצות. זוהי קבוצה שכל קבוצה כלשהי היא איבר שלה. נסמן קבוצה זו ב-${\displaystyle A}$. לכל קבוצה קיימת קבוצת החזקה, שהיא קבוצת כל תת הקבוצות שלה, ולכן קיימת קבוצת החזקה של קבוצת כל הקבוצות שאותה נסמן ב-${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$. לפי משפט קנטור עוצמתה של ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ גדולה ממש מעוצמתה של ${\displaystyle A}$, ובסימונים המקובלים: ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|>|A|}$. אולם איברי ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$, כאיבריה של כל קבוצת חזקה, הם קבוצות, ולכן כל איבריה שייכים ל-${\displaystyle A}$ כי היא קבוצת כל הקבוצות. כלומר ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)\subseteq A}$ ולכן ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|\leq |A|}$ והגענו לסתירה.

ניתן להראות שאם נטען שפונקציית הזהות מ-${\displaystyle A}$ ל-${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ היא הפונקציה החד-חד-ערכית ועל שאנחנו מחפשים, אז הקבוצה שלא נמצאת בתמונה שלה ושאותה בונים בהוכחת משפט קנטור, היא בדיוק הקבוצה שגורמת לסתירה בפרדוקס של ראסל (קבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן).

פתרון הפרדוקס

קנטור הציע פתרון לפרדוקס בכך שחילק את מושג האינסוף לשני מושגים: אינסוף מוחלט ואינסוף שאינו מוחלט. אינסוף שאינו מוחלט הוא אינסוף שניתן להתייחס אליו כעוצמה בלי שהדבר יוביל לסתירות הנובעות מתכונות ידועות של עוצמות. כך למשל אָלֶף אֶפֶס ועוצמת הרצף הם אינסופים שאינם מוחלטים. לעומת זאת, האינסוף של קבוצת כל הקבוצות הוא אינסוף מוחלט ולא ניתן לייחס לו עוצמה ולהפעיל עליו את משפט קנטור ובכך נמנע הפרדוקס.

הבעיה בפתרונו של קנטור היא שהוא לא נותן קריטריון ברור להבדיל בין קבוצות ששייכות לקטגוריה של אינסוף מוחלט לבין קבוצות אינסופיות אחרות שאינן שייכות לקטגוריה זו.

בתחילת המאה ה-20 הובן שהפרדוקס של קנטור ופרדוקסים נוספים נובעים מבעיה בסיסית בתורת הקבוצות הנאיבית, שהיא מתירה לאוספים "גדולים מדי" להיות קבוצות. אלו אותם אוספים שקנטור כינה אינסוף מוחלט וההתייחסות אליהם כקבוצות מובילה לסתירות. במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית אוסף כל הקבוצות אינו קבוצה בעצמו ולכן לא ניתן לייחס לו קבוצת חזקה ולהפעיל עליו משפטים מתורת הקבוצות הקשורים בעוצמות ולמעשה הפרדוקס חדל מלהתקיים.

לקריאה נוספת

• ענת בילצקי, ‏פרדוקסים, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1996, פרק י - פרדוקסים מתמטיים

קישורים חיצוניים

• הפרדוקס של קנטור, באתר MathWorld (באנגלית)