העתקת מביוס

באנליזה מרוכבת, העתקת מביוס או טרנספורמציית מביוס היא פונקציה מרוכבת מהצורה ${\displaystyle T(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ כאשר ${\displaystyle \ a,b,c,d}$ הם מקדמים מרוכבים כך ש ${\displaystyle \ ad-bc\neq 0}$.

העתקות מביוס קרויות על שם המתמטיקאי הגרמני אוגוסט פרדיננד מביוס.

סקירה כללית ותכונות

כל העתקת מביוס היא העתקה רציפה, חד חד ערכית ועל מהמישור המרוכב המורחב לעצמו. הרחבת המישור המרוכב נעשית על ידי הוספת נקודה באינסוף (המישור המורחב נקרא ספירת רימן ומסומן ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$; הטופולוגיה שלו מתקבלת מן הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוף). העתקות מביוס הן העתקות מרומורפיות בכל ${\displaystyle \mathbb {C} }$, והולומורפיות בכל ספירת רימן. הרציפות והאנליטיות באינסוף מושגות על ידי הגדרת הפונקציה בצורה האינטואיטיבית ${\displaystyle T\left({\frac {-d}{c}}\right)=\infty ,T(\infty )={\frac {a}{c}}}$. במקרה שבו ${\displaystyle \ c=0}$ הפונקציה היא פשוט ליניארית ומוגדרת על כל ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ כאשר ${\displaystyle \ T(\infty )=\infty }$.

• הרכבה של העתקות מביוס היא גם העתקת מביוס, ולכן העתקות מביוס מהוות חבורה, וחבורת העתקות מביוס מהוות את חבורת האוטומורפיזמים של ספירת רימן, ומסומנת לעיתים ${\displaystyle {\mbox{Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }})}$. במינוח של גאומטריה דיפרנציאלית, נאמר כי העתקות מביוס הן כל הדיפאומורפיזמים של ספירת רימן לעצמה. ישנן תתי חבורות של העתקות מביוס המהוות את האוטומורפיזמים של משטחי רימן אחרים, כמו המישור המרוכב או המישור ההיפרבולי, ועל כן העתקות מביוס מהוות חלק חשוב בתאוריה של משטחי רימן.

• כל העתקת מביוס היא הולומורפית, ולכן קונפורמית, כלומר שומרת זוויות.

• העתקת מביוס מעתיקה מעגלים וישרים ב ${\displaystyle \mathbb {C} }$ למעגלים וישרים, אך לא בהכרח מעתיקה מעגל למעגל וישר לישר. ניתן לנסח תכונה זו בצורה פשוטה ואלגנטית יותר, אם מרחיבים את הדיון לספירת רימן כולה(${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$). נשים לב כי גם מעגלים וגם ישרים ב ${\displaystyle \mathbb {C} }$ מתאימים למעגלים ב ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$, כאשר ישרים ב ${\displaystyle \mathbb {C} }$ מתאימים למעגלים העוברים דרך הקוטב הצפוני. לכן, מעל ספירת רימן ניתן לומר בפשטות כי העתקת מביוס מעתיקה מעגלים למעגלים.

• העתקת מביוס שומרת על היחס הכפול. היחס הכפול של 4 נקודות (שונות) ב ${\displaystyle \mathbb {C} }$ מוגדר כך ${\displaystyle \ [z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}]={\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}}$, ולכל העתקת מביוס מתקיים ${\displaystyle \ [z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}]=[T(z_{1}),T(z_{2}),T(z_{3}),T(z_{4})]}$.

• כל העתקת מביוס נקבעת על ידי ערכיה על שלוש נקודות. בפרט העתקת מביוס שיש לה שלוש נקודות שבת חייבת להיות העתקת הזהות. לכל העתקת מביוס שאינה הזהות יש לפחות נקודת שבת אחת, ולכל היותר שתיים.

נקודות שבת

לכל העתקת מביוס השונה מהעתקת הזהות יש בדיוק שתי נקודות שבת ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ במישור המרוכב המורחב. נקודות שבת אלו נספרות בהתאם לריבוי האלגברי שלהן, ומבחינה גאומטרית הן יכולות להתלכד לכדי נקודת שבת אחת; העתקות כאלו נקראות העתקות פרבוליות. כל אחת מהנקודות הללו, ולעיתים אף שתיהן, עשויה להיות הנקודה באינסוף.

קביעת נקודות השבת

נקודות השבת של הטרנספורמציה

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

נקבעות על ידי פתרון משוואת נקודת השבת f(γ) = γ. בעבור c ≠ 0, למשוואה זו יש שני שורשים המתקבלים מפתרון המשוואה הריבועית

${\displaystyle c\gamma ^{2}-(a-d)\gamma -b=0\ ,}$

השורשים הם:

${\displaystyle \gamma _{1,2}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}}$

ולמשוואה הריבועית יש דיסקרימיננטה

${\displaystyle \Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\operatorname {det} {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc)}$.

להעתקות פרבוליות יש נקודות שבת מתלכדות אודות לדיסקרימיננטה אפס. בעבור c שונה מאפס ודיסקרימיננטה שונה מאפס ההעתקה תיקרא אליפטית או היפרבולית.

כאשר c = 0 המשוואה הריבועית מתנוונת לכדי משוואה ליניארית וההעתקה היא ליניארית. זה תואם למצב שבו אחת מנקודות השבת היא הנקודה באינסוף. כאשר a ≠ d נקודת השבת השנייה היא סופית וניתנת בנוסחה

${\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}.}$

במקרה זה ההעתקה פועלת במסגרת המישור המרוכב כהרכבה של הזזה (translation), סיבוב (כאשר ל-${\displaystyle \alpha =a/d}$ יש חלק מדומה) ומתיחה/כיווץ (dilation):

${\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta .\,}$

אם c = 0 ו-a = d, אז שתי נקודות השבת הן באינסוף, והעתקת מביוס תואמת להזזה טהורה:

${\displaystyle z\mapsto z+\beta .}$

העתקות מביוס כתנועות של הספירה של רימן

המישור המרוכב וספירת רימן שמעליו.

את המישור המרוכב המורחב ניתן לזהות כהטלה הסטריאוגרפית של הספירה של רימן; הנקודה "באינסוף" היא למעשה ההטלה של הנקודה דרכה מתבצעת ההטלה הסטריאוגרפית, על המישור המרוכב. תחת נקודת המבט הזו, העתקות מביוס ניתנות לזיהוי כתנועות של הספירה של רימן. המקרה של העתקת מביוס המייצג הזזה תואם לתנועה קווית (הזזה גם כן) של ספירת רימן. בנוסף, הספירה של רימן עשויה להסתובב ולשנות את האוריינטציה שלה במרחב; אחד המשפטים המרכזיים^[1] בנוגע לסיווג העתקות מביוס קובע שכל העתקות מביוס התואמות לסיבוב טהור של ספירת רימן הן מהצורה:

${\displaystyle f(z)={\frac {\alpha z+\beta }{-{\bar {\beta }}z+{\bar {\alpha }}}}={\frac {(a+bi)z+(c+di)}{-(c-di)z+(a-bi)}}}$

כאשר ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$. זוהי למעשה העתקת מביוס אוניטרית. על פי משפט הסיבובים של אוילר, הרכבה של שני סיבובים תלת-ממדיים היא בעצמה סיבוב תלת-ממדי, ולכן האוסף של העתקות מביוס אוניטריות מהווה תת-חבורה של החבורה הכללית של העתקות מביוס.

העתקות מביוס מסוג מתיחה/כיווץ (דהיינו ${\displaystyle f(z)=kz}$ כאשר k ממשי ושונה מ-1) ניתנות לפירוש כהגדלה או כיווץ של ספירת רימן - כך שהמרחק מהראשית של ההיטלים של נקודות עליה מוגדל באותו יחס - ולא כתנועות שלה, ולפיכך אינן רלוונטיות לחלק זה.

זיהוי הסיבוב המתאים להעתקת מביוס אוניטרית נתונה

נקודת המבט הגאומטרית מאפשרת לתת הסבר אינטואיטיבי לנקודות השבת של העתקת מביוס, במקרה של סיבוב טהור; אלו הן בדיוק התמונות של קטבי הסיבוב המתאים של ספירת רימן (הנקודות בהן חותך ציר הסיבוב את הספירה), תחת פעולת ההטלה הסטריאוגרפית. בנוסף, שורש אחד של המשוואה הריבועית (משוואת נקודת השבת) מתקבל מאחר על ידי הנגדה של האינוורסיה של השורש השני; הווה אומר:

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {1}{\bar {\gamma _{1}}}}}$,

והקדם-תמונה של ${\displaystyle \gamma _{2}}$ היא הנקודה האנטיפודית של הקדם-תמונה של ${\displaystyle \gamma _{1}}$ על ספירת רימן.

את הסיבוב המתאים להעתקת מביוס אוניטרית נתונה ניתן לתאר באמצעות הצגה קווטרניונית:

${\displaystyle q=\cos(\epsilon /2)+(\eta _{1}i+\eta _{2}j+\eta _{3}k)\sin(\epsilon /2)}$,

כאשר ${\displaystyle {\hat {\eta }}=(\eta _{1},\eta _{2},\eta _{3})}$ הוא וקטור יחידה המייצג את ציר הסיבוב של ספירת רימן (ראו גם קווטרניונים וסיבובים מרחביים), ו-${\displaystyle \epsilon }$ היא זווית הסיבוב מסביב לציר הזה. כדי למצוא את ${\displaystyle \epsilon }$, נעזר במשפט החשוב הבא:

טענה: הנגזרת המרוכבת של העתקת מביוס אוניטרית ${\displaystyle f(z)}$ באחת מנקודות השבת מקיימת:

${\displaystyle f'(\gamma _{1})=e^{i\epsilon }}$.

הוכחה: נסמן את הפונקציה ההפוכה להטלה הסטריאוגרפית ב-${\displaystyle P(z)=S^{-1}(z)}$, ונוכיח תחילה ש-${\displaystyle |f'(\gamma _{1})|=1}$. בסביבה כדורית אינפיניטסימלית של ${\displaystyle P(\gamma _{1})}$ שתי הקדם-תמונות של ${\displaystyle z_{1}+dz}$ ו-${\displaystyle f(z_{1}+dz)}$ נמצאות במרחק שווה מאותו קוטב (הן באותו "קו רוחב") - ומכיוון שהן כמעט באותה נקודה (המרחק ביניהן שואף לאפס) פעולת ההטלה הסטריאוגרפית תמתח מרחקים זהים אלו באותה מידה - ולכן גודל השינוי האינפיניטסימלי ב-${\displaystyle z}$ מתורגם לשינוי בעל גודל זהה של ${\displaystyle f(z)}$, או במילים אחרות הערך המוחלט של הנגזרת המרוכבת בנקודת השבת הוא 1. כעת נוכיח ש-${\displaystyle f'(\gamma _{1})=e^{i\epsilon }}$. ההסבר לעובדה זו נעוץ בכך שההטלה הסטריאוגרפית, כמו העתקת מביוס, היא קונפורמית (משמרת זוויות בין עקומים). נסתכל על שני הקטעים הבאים במישור המרוכב: ${\displaystyle [\gamma _{1},\gamma _{1}+dz]}$ ו-${\displaystyle [\gamma _{1},f(\gamma _{1}+dz)]}$. שני קטעים אלו יוצרים ביניהם זווית ${\displaystyle \epsilon }$, וזאת משום שהם מהווים הטלה של משולש כדורי אשר קודקוד אחד שלו נמצא בקוטב של הסיבוב המגדיר את העתקת מביוס, קודקוד שני ב-${\displaystyle P(\gamma _{1}+dz)}$ וקודקוד שלישי ב-${\displaystyle P(f(\gamma _{1}+dz))}$. הזווית הפולרית (הזווית בקודקוד הקוטבי) של המשולש הכדורי הזה היא לפי הגדרה ${\displaystyle \epsilon }$, ולכן מתכונת הקונפורמיות נובע שגם הזווית בין הקטעים היא ${\displaystyle \epsilon }$, ופירוש הדבר הוא ש-${\displaystyle f'(\gamma _{1})=e^{i\epsilon }}$. מ.ש.ל

כדי להמשיך בפיתוח, תחילה נמצא את ${\displaystyle \gamma _{1}}$:

${\displaystyle -(c-di)\gamma ^{2}-2bi\gamma -(c+di)=0\implies \gamma _{1,2}={\frac {-d+ci}{c^{2}+d^{2}}}(-b\pm {\sqrt {1-a^{2}}})}$

הנגזרת של העתקת מביוס בנקודת השבת נותנת:

${\displaystyle e^{i\epsilon }=f'(\gamma _{1})={\frac {2a+{\sqrt {(2bi)^{2}-4(c^{2}+d^{2})}}}{2a-{\sqrt {(2bi)^{2}-4(c^{2}+d^{2})}}}}={\frac {2a+2i{\sqrt {1-a^{2}}}}{2a-2i{\sqrt {1-a^{2}}}}}={\frac {a+i{\sqrt {1-a^{2}}}}{a-i{\sqrt {1-a^{2}}}}}}$

ולפי זהויות טריגונומטריות של חצי-זווית פירוש הדבר הוא ש-: ${\displaystyle \cos(\epsilon /2)=a}$, ולכן החלק הממשי של הקווטרניון המייצג של הסיבוב הוא ${\displaystyle a}$. בנוסף לכך, הנורמה של ${\displaystyle \gamma _{1}}$ שווה לפי תכונות ההטלה הסטריאוגרפית ל-${\displaystyle \cot(\theta /2)}$ כאשר ${\displaystyle \theta }$ היא זווית הזנית של הקדם-תמונה של ${\displaystyle \gamma _{1}}$ על ספירת רימן (זווית הזנית היא קואורדינטה כדורית). לפיכך נקבל:

${\displaystyle \cot(\theta /2)=|\gamma _{1}|={\frac {-b+{\sqrt {1-a^{2}}}}{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}\implies \cos \theta ={\frac {\cot ^{2}(\theta /2)-1}{\cot ^{2}(\theta /2)+1}}=-{\frac {b}{\sqrt {1-a^{2}}}}}$

הגודל ${\displaystyle \cos \theta }$ הוא לא אחר מאשר ${\displaystyle \eta _{z}}$, ונזהה את ציר z עם הקווטרניון היסודי k. בדומה לכך נקבל, שמכיוון שמתקיים ${\displaystyle {\frac {\eta _{y}}{\eta _{x}}}=-{\frac {d}{c}}}$, וכמו כן ${\displaystyle \eta _{x}^{2}+\eta _{y}^{2}+\eta _{z}^{2}=1}$, ש-:

${\displaystyle {\hat {\eta }}=({\frac {c}{\sqrt {1-a^{2}}}},{\frac {-d}{\sqrt {1-a^{2}}}},{\frac {-b}{\sqrt {1-a^{2}}}})}$

וזה משלים את מציאת החלק הווקטורי של הקווטרניון המייצג. לסיכום, בהצגה קווטרניונית נקבל:

${\displaystyle q=\cos(\epsilon /2)+(\eta _{x}i+\eta _{y}j+\eta _{z}k)\sin(\epsilon /2)=a+(\eta _{x}i+\eta _{y}j+\eta _{z}k){\sqrt {1-a^{2}}}=a+ci-dj-bk}$

כאשר במעבר האחרון זיהינו את ציר j עם הישר הממשי ואת ציר i עם הישר המדומה.

העתקות מביוס כמטריצות

אם נרכיב את ההעתקה ${\displaystyle T_{1}(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ עם ההעתקה ${\displaystyle T_{2}(z)={\frac {a'z+b'}{c'z+d'}}}$, תתקבל העתקה ${\displaystyle T_{3}(z)=T_{1}\circ T_{2}={\frac {(a'a+c'b)z+(b'a+d'b)}{(a'c+c'd)z+(b'c+d'd)}}}$. ניתן לזהות קשר הדוק עם כפל המטריצות ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a'a+c'b&b'a+d'b\\a'c+c'd&b'c+d'd\end{pmatrix}}}$.

נשים לב גם כי כפל בסקלר של כל המקדמים אינו משנה את ההעתקה - ${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda d}}}$. בנוסף, הדרישה ${\displaystyle \ ad-bc\neq 0}$ היא בדיוק הדרישה שהמטריצה תהיה הפיכה. לכן, ניתן לזהות העתקות עם העתקות ליניאריות מ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ל ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, עד כדי כפל במטריצה סקלרית. כלומר, ${\displaystyle \ {\mbox{Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }})\cong \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$, (כאשר ${\displaystyle \ \operatorname {PGL_{2}} }$ היא חבורת המטריצות ההפיכות, מודולו המטריצות הסקלריות).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא העתקת מביוס בוויקישיתוף

• העתקת מביוס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. תוצאה זאת הופיעה לראשונה אצל קרל פרידריך גאוס, בכתב יד לא מפורסם שמתוארך לשנת 1819; זהו ככל הנראה האזכור המוקדם ביותר בספרות המתמטית לקשר העמוק בין העתקות מביוס במישור המרוכב לסיבובים של ספירה דו-ממדית (ספירת רימן).