החלפה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, תכונת ההחלפה היא תכונה של מודולים, הנלמדת בקשר לפירוק לסכום ישר (כגון במשפט קרול-שמידט) והרמה של אידמפונטים.

הגדרה

למודול ${\displaystyle A}$ יש תכונת ההחלפה הסופית אם בכל מקרה בו ${\displaystyle A}$ הוא מחובר ישר בסכום ישר ${\displaystyle M=M_{1}\oplus M_{2}}$, יש פירוק ${\displaystyle M=A\oplus (M_{1}'\oplus M_{2}')}$ שבו ${\displaystyle M_{1}'\subset M_{1},M_{2},\subset M_{2}}$ (נובע מכאן שכל ${\displaystyle M_{i}'}$ הוא מחובר ישר של ${\displaystyle M_{i}}$).

באופן כללי יותר, עבור מונה ${\displaystyle \alpha }$, למודול ${\displaystyle A}$ יש תכונת ההחלפה ה-${\displaystyle \alpha }$ אם בכל מקרה בו ${\displaystyle A}$ הוא מחובר ישר בסכום ישר ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \alpha }M_{i}}$, יש פירוק ${\displaystyle M=A\oplus \bigoplus _{i\in \alpha }M_{i}'}$ שבו ${\displaystyle M_{i}'\subset M_{i}}$ לכל ${\displaystyle i}$ (וגם כאן נובע שכל ${\displaystyle M_{i}'}$ הוא מחובר ישר של ${\displaystyle M_{i}}$). התכונה נעשית חזקה יותר ככל שהמונה ${\displaystyle \alpha }$ גדול יותר. אם ${\displaystyle A}$ מקיים את התנאי לכל ${\displaystyle \alpha }$, אומרים שיש לו תכונת ההחלפה (הכללית). כל תכונות ההחלפה הסופיות (ל-${\displaystyle 2\leq \alpha <\infty }$) שקולות זו לזו.

תכונת ההחלפה הסופית גוררת את תכונת ההחלפה הכללית אם המודול נוצר סופית, או אם הוא סכום ישר של מודולים אי-פרידים; במקרה הכללי זוהי בעיה פתוחה. מודול פרויקטיבי עם תכונת ההחלפה הבת-מניה מקיים את תכונת ההחלפה הכללית.

לכל מודול איג'קטיבי יש תכונת ההחלפה.

תכונת ההחלפה וסכומים ישרים

תכונת ההחלפה ה-${\displaystyle \alpha }$ עוברת ממודול למחובר ישר שלו, ואם היא נכונה לשני מודולים היא נכונה גם לסכום הישר שלהם.

יהי ${\displaystyle A}$ מודול אי-פריד (כזה שאינו סכום ישר). אז הוא מקיים את תכונת ההחלפה, אם ורק אם הוא מקיים את תכונת ההחלפה הסופית, אם ורק אם הוא "אי-פריד בחזקה" (כלומר, חוג האנדומורפיזמים שלו הוא מקומי). בפרט, אם המודול אי-פריד, תכונת ההחלפה הסופית גוררת את תכונת ההצבה (שהיא גרסה חזקה של תכונת הצמצום).

תכונת ההחלפה של חוגים

אומרים שלחוג ${\displaystyle R}$ יש תכונת ההחלפה, אם הוא מקיים את תכונת ההחלפה כמודול מעל עצמו. למודול ${\displaystyle M}$ מעל ${\displaystyle R}$ יש תכונת ההחלפה הסופית אם ורק אם לחוג האנדומורפיזמים ${\displaystyle \operatorname {End} ({}_{R}M)}$ יש תכונת ההחלפה. חוג ${\displaystyle R}$ מקיים את תכונת ההחלפה אם ורק אם אפשר להרים בו אידמפוטנטים מודולו כל אידיאל שמאלי או ימני, אם ורק אם אפשר להרים אידמפוטנטים מודולו רדיקל ג'ייקובסון ${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$ והחוג ${\displaystyle R/\operatorname {Jac} (R)}$ מקיים את תכונת ההחלפה ^[1].

מקורות

• A. A. Tuganbaev, Rings and modules with exchange properties, J. Math. Sci. 110(1) (2002), 2348–2421.

הערות שוליים

1. W. K. Nicholson, Lifting idempotents and exchange rings, Trans. Amer. Math. Soc. 229 (1977), 269–278