במהלך לימודיו באוניברסיטה כתב קושמרו למוסף הסטודנטים "איינשטיין" בעיתון "חדשות". את צעדיו הראשונים בשידורי הרדיו בישראל, עשה בתקשורת המקומית באזור הדרום. ב-24 בינואר1996 בשעה שש בבוקר פתח את שידורי תחנת רדיו דרום באולפנים בבאר שבע, בהגשת תוכנית האקטואליה והראיונות "בוקר טוב דרום", והיה ממניחי היסודות לתוכנית שמשודרת עד היום. ברבות השנים היה למנהל מחלקת החדשות של התחנה. מאוחר יותר החלה הקריירה הטלוויזיונית שלו, כמגיש התוכנית "שיחת העיר" בכבלים בדרום, ואחר כך גם "זוויות" ו"תחנה מרכזית" בכבלים במרכז. בתחילת הקריירה התקשורתית, עוד עבד במקביל כמהנדס תעשייה וניהול[2].
בינואר 2012 החל להגיש גם את "אולפן שישי", בעקבות מעברו של יאיר לפיד לפוליטיקה[6]. אחר כך הודיע שהוא מוותר על התפקיד ומועמדים אחרים נבחנו[7]. לאחר שהמשיך להגיש את "אולפן שישי" באופן זמני מונה לבסוף באופן רשמי במאי 2013[8].
בסקר שנערך בקיץ 2014 אחרי מבצע צוק איתן בעיתון "גלובס", נבחר למגיש החדשות האהוב בישראל בפער גדול מהמגישים אחרים: 44.6 אחוזים מהנסקרים אמרו שהם מעדיפים לצפות בו על האחרים[12].
תוכניות נוספות שהגיש היו "איך להציל את החיים של הילדים שלך" בנושא תאונות ילדים[14], סדרת "עדות" בנושא השואה בערוץ ההיסטוריה, ו"מישהו נכנס למחשב שלך" – על הסכנות שבאינטרנט. ב-2006 הגיש יחד עם רותם אבוהב את "אנשי השנה - לתת באהבה", וגם תוכנית אתגרית-היסטורית לנשים לערוץ ADV1.
החל מאוקטובר2020 משודרת סדרת סרטי התיעוד "עד הקצה" שבהשתתפותו ושבהנחייתו, בה מתעד קושמרו תופעות טבע מרהיבות וכן מקומות נידחים בהם מתרחשות תופעות קיצוניות וחריגות.
בשנת 2024 זכה בפרס "כד החלב" ע"ש מוטי קירשנבאום של פסטיבל שובר מסך המתקיים במכללת עמק יזרעאל. הסטודנטים שבחרו בו לקבלת הפרס בזכות התרומה הרבה לעיצוב השיח הישראלי ועבודתו העיתונאית המאופיינת ברגישות, אמינות, מקצועיות, יסודיות וביקורתיות. בספטמבר באותה שנה, קיבל את אות "אביר איכות השלטון" של התנועה לאיכות השלטון "על יכולתו לבטא היטב את קול העם ועל עיסוקו בחיבור בין החלקים השונים של החברה תוך הבעת ביקורת חשובה. ב-7 באוקטובר, עם תחילת מלחמת חרבות ברזל, הוביל קושמרו את שידורי החדשות ברגישות רבה"[25].
במאי 2020 הוציא אנסמבל "ציפורלה" שיר פארודי שנקרא "אבא שלי זה דני קושמרו" (סולנית להקת כרמל נצר). השיר זכה להצלחה רבה ברשתות החברתיות וקושמרו שיתף-פעולה עם השיר, ואף הופיע בעצמו בקטע קצר בסיום הסרטון. בשלהי חודש אוקטובר 2023, על רקע פרוץ מלחמת חרבות ברזל של מדינת ישראל, הפך השיר ללהיט ברשתות החברתיות, ובהן טיקטוק[31].