בורגשטאלר החל את קריירת הבוגרים במועדון האוסטרי פ.צ. קארנטן ששיחק בליגת המשנה האוסטרית, ובעונת 2008/09 עבר לשחק בוינר נוישטאדט, שגם היא שיחקה בליגת המשנה האוסטרית. בעונת הבכורה שלו בקבוצה, הבקיע בורגשטאלר שבעה שערי ליגה, והעפיל עם הקבוצה אל הבונדסליגה האוסטרית. בורגשטאלר נשאר במועדון שתי עונות נוספות, ובקיץ 2011 חתם בראפיד וינה, גם היא מהבונדסליגה האוסטרית. בעונת הבכורה שלו במועדון, 2011/12, הבקיע בורגשטאלר שבעה שערי ליגה וסיים עם ראפיד וינה במקום השני. בעונת 2012/13 הבקיע בורגשטאלר שישה שערים וקבוצתו סיימה שלישית. עונת השיא של בורגשטאלר באוסטריה הייתה עונת 2013/14. בעונה זו הבקיע 11 שערי ליגה, ושוב סיים עם הקבוצה במקום השני. לאור הצלחתו, זכה בורגשטאלר להתעניינות ממועדונים אחרים, ובקיץ 2014 חתם בקארדיף סיטי, שנשרה באותו קיץ לפוטבול ליג צ'מפיונשיפ, הליגה השנייה בהיררכיית הליגות באנגליה.
קארדיף סיטי
החתמתו של בורגשטאלר בקארדיף סיטי, על ידי המאמן אולה גונאר סולשיאר הייתה על חוזה לשלוש שנים. בורגשטאלר הביע את קורת רוחו מהחתמה זו, ואמר שתמיד חלם לשחק באנגליה, ושחיכה לשחק עבור האוהדים של קארדיף. את הופעת הבכורה במועדון ערך באוגוסט 2014 בתיקו 1-1 מול בלקברן רוברס במחזור הפתיחה. חמישה ימים מאוחר יותר הבקיע שער בניצחון 1–2 על קובנטרי סיטי, במסגרת גביע הפוטבול ליג. עם זאת, בורגשטאלר לא התאקלם בקארדיף, וערך שלוש הופעות ליגה בלבד במחצית העונה הראשונה.
נירנברג
בפגרת החורף של עונת 2014/15, עזב בורגשטאלר את קארדיף סיטי בהסכמה משותפת של שני הצדדים, וחתם בנירנברג מהבונדסליגה השנייה. עד לתום עונת 2014/15 ערך בורגשטאלר 14 הופעות ליגה והבקיע שישה שערים, ונירנברג סיימה במקום התשיעי. בעונת 2015/16 בורגשטאלר הבקיע 13 שערי ליגה, והיווה צמד התקפי עם החלוץ ניקלאס פולקרוג שהבקיע 14 שערים. בורגשטאלר סיים עם נירנברג באותה עונה במקום השלישי בבונדסליגה השנייה, והגיע עם הקבוצה למבחני העלייה לבונדסליגה, שם פגשה הקבוצה את איינטרכט פרנקפורט. המשחק הראשון הסתיים בתוצאה 1-1, ובגומלין ניצחה פרנקפורט 0–1 בנירנברג, שנאלצה להישאר בבונדסליגה השנייה. את עונת 2016/17 פתח בורגשטאלר בנירנברג, ועד למחצית העונה הבקיע 14 שערים ב-16 הופעות, ועמד בראש טבלת מלך השערים נכון לאותו זמן.
שאלקה 04
הצלחתו של בורגשטאלר לא נעלמה ממועדונים גדולים יותר, וכבר בפגרת החורף של עונת 2016/17 חתם בשאלקה 04 מהבונדסליגה, שנזקקה לחלוץ בגין פציעתו של בריל אמבולו ויכולת הבקעה נמוכה יחסית בליגה. בורגשטאלר שיתף פעולה בשאלקה עם בן ארצו אלסנדרו שופף, ועם מקס מאייר, דניאל קליגיורי ואריק מקסים צ'ופו מוטינג. בורגשטאלר המשיך בשאלקה 04 את כושרו הטוב מנירנברג, וכבר במשחק הליגה הראשון שלו, בינואר 2017, הבקיע שער ניצחון מול אינגולשטאט בדקה ה-92. במרץ 2017 הבקיע את הצמד הראשון שלו בבונדסליגה, בניצחון 0–3 על אאוגסבורג. את שערו הראשון במסגרת הליגה האירופית במדי שאלקה הבקיע בורגשטאלר בניצחון 0–3 על פאוק סלוניקי בשמינית הגמר. ברבע הגמר הוסיף בורגשטאלר שער בתיקו 1-1 מול בורוסיה מנשנגלדבך, ושאלקה העפילה לחצי הגמר בשערי חוץ, לאחר 2-2 בגומלין. בורגשטאלר הבקיע בשאלקה תשעה שערים עד לתום העונה, וסייע לשיפור שחל בקבוצה בחצי השני של העונה, אותה סיימה שאלקה במקום העשירי. בעונת 2017/18 הפך בורגשטאלר לבורג חשוב בהתקפה של שאלקה, וסייע לקבוצה לסיים במקום השני בבונדסליגה, כשהוא מבקיע 11 שערי ליגה. בעונת 2018/19 ירדה תפוקתו של בורגשטאלר והוא הבקיע ארבעה שערי ליגה בלבד, וקבוצתו סיימה במקום ה-14 בבונדסליגה. בעונת 2019/20 בורגשטאלר לא הבקיע אפילו שער ליגה אחד, ב-21 הופעות ליגה, וקבוצתו סיימה במקום ה-12 בבונדסליגה, לאחר שלא השיגה אפילו ניצחון אחד ב-16 מחזורי הליגה האחרונים.
סנט פאולי
בספטמבר 2020, עם סיום החוזה שלו בשאלקה, חתם בורגשטאלר על חוזה לשלוש שנים בפ.צ. סנט פאולי מהבונדסליגה השנייה. בעונת הבכורה שלו בקבוצה, 2020/21, הבקיע בורגשטאלר 11 שערי ליגה וסיים עם קבוצתו במקום העשירי בליגה.
בורגשטאלר ערך את הופעת הבכורה במדי נבחרת אוסטריה בפברואר 2012, כשהחליף את אנדראס איבנשיץ' בניצחון 1–3 על נבחרת פינלנד במשחק ידידות. בורגשטאלר ערך מאז מספר הופעות לעיתים מזומנות, אך לא זומן לסגל האוסטרי ליורו 2016, שכן ההתקפה של נבחרת אוסטריה תפקדה היטב במוקדמות יורו 2016. אוסטריה כשלה בטורניר זה והודחה כבר בשלב הבתים. בשנת 2017 החל בורגשטאלר לקבל זימונים באופן קבוע, בזכות כושרו הטוב מנירנברג ומשאלקה 04. בורגשטאלר הודיע על פרישה מנבחרת אוסטריה באוגוסט 2019, לאחר שערך במדיה 25 הופעות והבקיע שני שערים. באוקטובר 2023 חזר בורגשטאלר ללבוש את המדים הלאומיים, כשנכנס כמחליף בניצחון 1-0 על אזרבייג'ן במסגרת מוקדמות יורו 2024. במשחק זה הורחק בורגשטאלר בכרטיס אדום.