אלגברה אלטרנטיבית

אלגברה אלטרנטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית (מעל שדה) שאבריה מקיימים את האקסיומות ${\displaystyle x(xy)=(xx)y,\quad x(yy)=(xy)y}$. כל אלגברה אסוציאטיבית, ממנה נדרשת האקסיומה החזקה יותר ${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$, היא גם אלטרנטיבית. כל אלגברה אלטרנטיבית היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית.

ליניאריזציה של האקסיומות מביאה למסקנה שהאסוציאטור מקיים את הזהות ${\displaystyle (x_{\pi 1},x_{\pi 2},x_{\pi 3})=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot (x_{1},x_{2},x_{3})}$, ועל-כן נקרא שמן של אלגברות אלה "אלטרנטיביות" (בעברית, חילופיות).

במובן מסוים אקסיומת האלטרנטיביות אינה חלשה בהרבה מאסוציאטיביות: כל אלגברה אלטרנטיבית הנוצרת על ידי שני איברים היא אסוציאטיבית (משפט שהוכיח אמיל ארטין), ובפרט באלגברה אלטרנטיבית יש חזקה אסוציאטיבית. כל אלגברה פשוטה אלטרנטיבית היא או אסוציאטיבית, או אלגברת אוקטוניונים.

תכונות אלמנטריות

זהויות

אלגברות אלטרנטיביות מקיימות את הזהות הגמישה וגם את זהויות מופן (הימנית, האמצעית והשמאלית). מאידך, באלגברה עם יחידה מספיקות הזהות הימנית והשמאלית כדי להוכיח אלטרנטיביות; ובאלגברה עם יחידה וחילוק (כל אופרטורי הכפל הפיכים) מספיקה הזהות הימנית או השמאלית^[1].

בכל אלגברה אלטרנטיבית ממאפיין זר ל-6, החזקה הרביעית של כל קומוטטור שייכת לגרעין, והחזקה הרביעית של כל אסוציאטור שייכת למרכז.

איברים הפיכים

בחוג אלטרנטיבי ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle \ell _{a}^{-1}=\ell _{b}}$ אם ורק אם ${\displaystyle r_{b}^{-1}=r_{a}}$ אם ורק אם ${\displaystyle ab=ba=1}$. במקרה זה ${\displaystyle (a,b,R)=0}$.

אלטרנטיביות חד-צדדית

אלגברה המקיימת את האקסיומה ${\displaystyle x(yy)=(xy)y}$ נקראת אלטרנטיבית מימין (ובדומה, אם מתקיימת האקסיומה השנייה, ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$, האלגברה אלטרנטיבית משמאל). במאפיין שאינו 2, כל אלגברה אלטרנטיבית מימין (או משמאל) היא אלגברה עם חזקות אסוציאטיביות. בדרך כלל, אלגברה אלטרנטיבית מימין אינה בהכרח אלטרנטיבית משמאל, ולכן אינה אלטרנטיבית. עם זאת, אלטרנטיביות חד-צדדית גוררת אלטרנטיביות עבור אלגברות פשוטות למחצה, וכן עבור אלגברות המקיימות את הזהות הגמישה ${\displaystyle x(yx)=(xy)x}$.

תורת מבנה

רדיקלים

רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אלטרנטיבית מוגדר, כהכללה של המקרה האסוציאטיבי, בכמה דרכים מתלכדות. זהו האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר; חיתוך האידיאלים השמאליים המודולריים המקסימליים (אידיאל שמאלי הוא מודולרי אם הוא מכיל את כל האיברים מהצורה ${\displaystyle x-xe}$ עבור ${\displaystyle e\in R}$ מתאים; התנאי ריק בחוגים עם יחידה); וגם חיתוך הגרעינים של כל ההצגות האי-פריקות. החוג הוא פרימיטיבי למחצה אם הרדיקל מתאפס. כל חוג פרימיטיבי (כזה שיש בו אידיאל שמאלי מודולרי מקסימלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי) הוא פרימיטיבי למחצה. חוג פרימיטיבי למחצה הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים, וכל חוג פרימיטיבי הוא או אסוציאטיבי, או אלגברת קיילי. במקרים חשובים רבים, רדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי, ולכן מתלכד עם הרדיקל הראשוני: כך הדבר בכל חוג אלטרנטיבי ארטיני, בכל אלגברת PI נוצרת סופית (Shestakov, 1983), וגם באלגברה האלטרנטיבית החופשית אם זו נוצרת סופית או בעלת מאפיין 0^[2].

הרדיקל הראשוני הוא האידיאל הראשוני-למחצה הקטן ביותר של החוג; זהו אידיאל נילי, שבדרך כלל אינו נילפוטנטי. כאשר הרדיקל הזה מתאפס, החוג נקרא ראשוני-למחצה. כל חוג אלטרנטיבי ראשוני-למחצה הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים ראשוניים, וכל חוג ראשוני במאפיין שונה מ-3 הוא או אסוציאטיבי, או תת-חוג מלא של אלגברת קיילי (${\displaystyle R}$ הוא תת-חוג מלא אם הוא מכיל בסיס של האלגברה מעל המרכז שלה). התוצאה לגבי חוגים ראשוניים נכונה גם במאפיין 3, אם מניחים שרדיקל לויצקי מתאפס.

הרדיקל הפתיר של אלגברה אלטרנטיבית מממד סופי הוא האידיאל הנילי המקסימלי היחיד (ולכן שווה לרדיקל הנילי), והוא גם נילפוטנטי. אלגברת המנה ביחס לרדיקל היא פשוטה למחצה. בפרט, אלגברה אלטרנטיבית מממד סופי היא נילפוטנטית אם ורק אם היא נילית, אם ורק אם היא פתירה.

המשפט העיקרי של ודרברן חל על אלגברות אלטרנטיביות מממד סופי: אם ${\displaystyle A}$ אלגברה כזו ו-${\displaystyle N}$ הרדיקל שלה, ואם המנה ${\displaystyle A/N}$ ספרבילית, אז אפשר לשכן את המנה ב-${\displaystyle A}$ ויש פירוק לסכום ישר (של מרחבים וקטוריים), ${\displaystyle A=N+A/N}$.

לכל אלגברה אלטרנטיבית מימין ${\displaystyle A}$ יש רדיקל נילי ${\displaystyle N}$; המנה ${\displaystyle A/N}$ היא אלטרנטיבית (בפרט, אלגברה אלטרנטיבית מימין ללא איברים נילפוטנטיים היא אלטרנטיבית). אלגברה אלטרנטיבית מימין נילית מממד סופי היא פתירה, אבל לא בהכרח נילפוטנטית.

אלגברות ראשוניות ופשוטות

משפט (מקס צורן): כל אלגברה אלטרנטיבית פשוטה היא או אסוציאטיבית, או אלגברת קיילי מממד 8 (אלגבראות קיילי הן הכללה של האוקטוניונים)^[3]. אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית מעל שדה ${\displaystyle F}$ היא מכפלה ישרה של אלגבראות אלטרנטיביות פשוטות, שהמרכזים שלהן ספרביליים מעל ${\displaystyle F}$. בהכללה למשפט הקטן של ודרברן, אלגברה אלטרנטיבית סופית עם חילוק היא שדה.

הרחבות מרכזיות ופירוק פירס

הרחבת סקלרים של אלגברה אלטרנטיבית ${\displaystyle A}$, כלומר, אלגברה מהצורה ${\displaystyle A\otimes _{F}K}$ כאשר ${\displaystyle K/F}$ הרחבת שדות, גם היא אלטרנטיבית.

אם ${\displaystyle e}$ אידמפוטנט (כלומר, איבר המקיים את השוויון ${\displaystyle e^{2}=e}$), אז האלגברה מתפרקת לסכום ${\displaystyle A=A_{00}+A_{01}+A_{10}+A_{11}}$, כאשר ${\displaystyle A_{ij}=\{x:ex=ix,\,xe=jx\}}$ (ולכן ${\displaystyle e\in A_{11}}$). זהו פירוק פירס (Peirce decomposition) של האלגברה. הכפל בין מרכיבים מקיים ${\displaystyle A_{ij}A_{kl}\subseteq A_{il}}$ אם ${\displaystyle j=k}$, ו-${\displaystyle A_{ij}A_{kl}=0}$ אם ${\displaystyle j\neq k}$ ו-${\displaystyle (i,j)\neq (k,l)}$. בנוסף לזה, ${\displaystyle A_{ij}A_{ij}\subseteq A_{ji}}$. אלו תכונות דומות למקרה האסוציאטיבי, פרט להבדל אחד: שם מתקיים ${\displaystyle A_{ij}A_{ij}=0}$ אם ${\displaystyle i\neq j}$.

האלגברה החופשית

רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אלטרנטיבית עם שלושה יוצרים, שווה לאפס. במקרה הכללי, הרדיקל מורכב מכל האיברים הניליים, ושווה לאברי אידיאל האסוציאטור המהווים זהויות של אלגברת קיילי (Shestakov, 1975). מעל שדה ממאפיין 0 הרדיקל נילפוטנטי; מעל שדה ממאפיין 3, הרדיקל אינו נילפוטנטי. ^[4].

המקרה הקומוטטיבי

אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית היא אלגברת ז'ורדן. באלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית מתקיימות הזהויות ${\displaystyle 3(x,y,z)=(x,y,z)^{2}=0}$^[5] (ולכן אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית מעל שדה ממאפיין שאינו 3 היא אסוציאטיבית).

הקשר למחלקות נוספות של אלגברות

תהי ${\displaystyle A}$ אלגברה אלטרנטיבית. אלגברת ז'ורדן הנוצרת על ידי הפעולות של האלגברה על עצמה מימין (${\displaystyle R(a):x\mapsto xa}$) מוגדרת, כרגיל, על ידי הפעולה ${\displaystyle R(a)\cdot R(b)={\frac {1}{2}}\left(R(a)\circ R(b)+R(b)\circ R(a)\right)}$; מדובר אם כך באלגברת ז'ורדן מיוחדת. כאשר ${\displaystyle A}$ נוצרת סופית, גם אלגברת ז'ורדן זו נוצרת סופית. הגידול של אלגברה אלטרנטיבית שקול לגידול של אלגברת ז'ורדן זו, ולכן גם לגידול של המעטפת האסוציאטיבית שלה (כלומר, האלגברה האסוציאטיבית הנוצרת על ידי אופרטורי הכפל מימין).

אלגברות מדרגה 3

כל אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית עם יחידה מדרגה 3 מעל שדה ${\displaystyle F}$ היא או הרחבה ספרבילית מממד 3, או ${\displaystyle F\oplus C}$ כאשר ${\displaystyle C\neq F}$ אלגברת הרכבה (עם יחידה) ^[6].

ראו גם

• אלגברת קיילי, ובפרט אלגברת האוקטוניונים
• בניית קיילי-דיקסון, ובפרט אלגברות קיילי-דיקסון

קישורים חיצוניים

• אלגברה אלטרנטיבית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)

הערות שוליים

1. פרק 4 ב-The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, John R Faulkner, 2014
2. עבור אלגבראות חופשיות: Algebra VI, Part II, עמ' 232.
3. ראו משפט 3.17 ב-An Introduction to Nonassociative Algebras, R.D Schafer. הוכחה למקרה של אלגברות עם חילוק: משפט 4.13 ב-The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, John R Faulkner, 2014
4. Algebra VI, Part II, עמ' 232.
5. למה 4.12 ב-The Role of Nonassociative Algebra in Projective Geometry, John R Faulkner, 2014
6. The Book of Involutions, משפט 34.17.