אוננה החל את דרכו במחלקת הילדים של מכבי יפו. בעונת 1966/1967 הועלה על ידי המאמן יצחק שניאור ישירות לקבוצה הבוגרת, שם שיחק בתפקיד חלוץ ובמחזור השלישי הבקיע את שער הבכורה שלו לרשת מכבי תל אביב. בעונת 1970/1971 הבקיע אוננה את שער הניצחון לרשת הפועל רמת גן, שהעלה את מכבי יפו לליגה הלאומית. בעונת 1980/1981 היה אוננה סגן מלך השערים בליגה הלאומית (שהייתה אז הליגה הראשונה), כאשר לזכותו נרשמו 18 שערים. במהלך עונת 1982/1983 עבר אוננה למדי בני יהודה תל אביב, ובעונת 1985/1986 עבר למדי הכח מכבי רמת גן. במחזור ה-19 של אותה עונה פרש משה אוננה ממשחק פעיל[1]. אוננה הוא שיאן ההופעות הרצופות של מכבי יפו במשחקי ליגה עם 379 הופעות ושני במספר ההופעות הכללי בקבוצה לאחר מוצי ליאון.
בעונת 1998/1999 אימן אוננה בקבוצת מכבי יפו, בסיומה ירדה הקבוצה לליגה הארצית ובהמשך התפרקה עקב מצבה הכלכלי. מאוחר יותר אימן בסקציה נס ציונה ובהפועל באר יעקב. בעונת 2008/2009 אימן בקבוצת מכבי באר יעקב מליגה ב'. בשנת 2010 חזר אוננה לאמן את מכבי קביליו יפו בליגה א', ובאוקטובר 2012 התפטר מתפקידו. במקביל מנהל אוננה בית מאפה במועצה המקומית באר יעקב, בה הוא מתגורר.
