מרכז (גאומטריה)

איור של מעגל שהיקפו מסומן בשחור (C), קוטרו בכחול (D), רדיוסו באדום (R), ומרכזו בירוק (O).

בגאומטריה, מרכז (באנגלית: center, מיוונית κέντρον) של עצם הוא נקודה שיכולה להיחשב כאמצע העצם. לכל סוג עצם קיימת הגדרה שונה המשמשת למציאת המרכז, בהתאם לסוג העצם, וישנם עצמים שניתן להגדיר את נקודת המרכז שלהם ביותר מדרך אחת.

מעגל, כדור וקטע

מרכז מעגל הוא הנקודה שנמצאת במרחק שווה מנקודות השפה שלו. באופן דומה, מרכז כדור הוא הנקודה הנמצאת במרחק שווה מכל הנקודות הנמצאות על הספירה, ומרכזו של קטע הוא נקודת האמצע בין שני קצותיו.

מצולע סימטרי

בעבור מצולעים סימטריים, מרכז הסימטריה הוא הנקודה שנותרת במקומה לאחר הפעלת פעולות הסימטריה (שיקוף, סיבוב). המרכז הסימטרי של ריבוע, מלבן, מעוין ומקבילית הוא נקודת הצטלבות האלכסונים, שהיא נקודת השבת של הסימטריה הסיבובית. באופן דומה, באליפסה ובהיפרבולה, המרכז מוגדר להיות נקודת הצטלבות הצירים.

משולש

ערך מורחב – מרכז משולש
 

בעבור משולשים, ניתן להגדיר נקודות רבות כמרכז הגאומטרי של המשולש, וביניהן:

• מרכז המעגל החוסם (המעגל העובר בשלושת קודקודי המשולש)
• נקודת מרכז המסה של המשולש - הנקודה שעליה ניתן היה לאזן משולש לו הייתה לו צפיפות אחידה
• מרכז המעגל החסום (המעגל המשיק לשלוש צלעות המשולש)
• נקודת מפגש שלושת הגבהים של המשולש
• נקודת מפגש חוצי הזווית
• נקודת מפגש התיכונים

במשולש שווה-צלעות, כל הנקודות מתלכדות לכדי נקודה בודדת, השוכנת במפגש של שלושת צירי הסימטריה של המשולש, וממוקמת בשליש מהמרחק בין הבסיס שלו לבין הקודקוד שממולו.

על פי ההגדרה הפורמלית של מרכז משולש, מרכזו הוא נקודה שהקואורדינטות הטריליניאריות שלה הן ${\displaystyle f(a,b,c)}$, ${\displaystyle f(b,c,a)}$ ו-${\displaystyle f(c,a,b)}$ כאשר ${\displaystyle f}$ היא פונקציה של אורכי שלוש צלעות המשולש, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a}$, המקיימת את התנאים הבאים:^[1]

1. הפונקציה ${\displaystyle f}$ היא פונקציה הומוגנית ב-${\displaystyle c}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a}$, כלומר פונקציה שהכפלת הארגומנטים שלה במספר קבוע ${\displaystyle c}$, מכפילה את ערך הפונקציה ב־${\displaystyle c^{n}}$ כאשר ${\displaystyle n}$ הוא מספר הארגומנטים. בשל כך, הפונקציה אינה תלויה בקנה מידה.
2. הפונקציה ${\displaystyle f}$ היא סימטרית בשני הארגומנטים האחרונים שלה, כלומר ${\displaystyle f(a,b,c)=f(a,c,b)}$. לפיכך, מיקום מרכז המשולש במשולש משוקף במראה, יהיה משוקף גם הוא ביחס למשולש המקורי.

נכון לשנת 2021, האנציקלופדיה של מרכזי משולשים מונה 46114 הגדרות שונות למרכז משולש.^[2]

מצולע טנגנציאלי ומצולע ציקלי

מצולע טנגנציאלי (אנ') הוא מצולע שניתן לחסום בו מעגל המשיק לכל צלעות המצולע. מרכז המעגל החסום יכול להיחשב כמרכז המצולע. באופן דומה, מצולע ציקלי הוא מצולע שניתן לחסום במעגל העובר דרך כל קודקודי המצולע. מרכז המעגל החוסם יכול להיחשב כמרכז המצולע.

אם מצולע הוא גם טנגנציאלי וגם ציקלי, מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום שלו לא בהכרח יתלכדו.

מצולע כללי

ניתן להגדיר את מרכזו של מצולע במספר דרכים שונות. קיימים מצולעים שבהם חלק מהנקודות או כולן מתלכדות לכדי נקודה אחת, אך הדבר לא מתקיים לכל מצולע.

• מרכז הקודקודים - מחושב תוך הנחה שהמצולע הוא חסר מסה, וכל הקודקודים בעלי מסה אחידה.
• מרכז הצלעות - מחושב תוך הנחה שהמצולע הוא חסר מסה, ואילו הצלעות הן בעלות מסה אחידה ליחידת מרחק.
• מרכז המסה - מחושב באמצעות הנחה שפני השטח של המצולע הם בעלי מסה אחידה ליחידת שטח.

במצולע משוכלל כל הנקודות הללו מתלכדות לנקודה אחת, שהיא גם מרכזי המעגל החוסם והמעגל החסום.

ראו גם

• מרכז מסה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מרכז בוויקישיתוף

• מרכז, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. ALGEBRAIC HIGHWAYS IN TRIANGLE GEOMETRY, faculty.evansville.edu
2. ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS, faculty.evansville.edu