הפיזיקאי וולפגאנג פאולי מטריצות פאולי הן שלוש מטריצות מרוכבות המסייעות לייצג טרנספורמציות סיבוב במרחב מממד זוגי של פונקציות מרוכבות . למטריצות אלו חשיבות רבה בפיזיקה בכלל, ובתורת הקוונטים בפרט. בין היתר ניתן לייצג בעזרתן את אופרטור הספין , אופרטור הבורגיות (Helicity) ובעזרתן ניתן לכתוב את משוואת דיראק במרחב הספינור ה-4 ממדי. מטריצות אלו קרויות על שם הפיזיקאי האוסטרי וולפגנג פאולי .
המטריצות הן מסדר
2
× × -->
2
{\displaystyle 2\times 2}
σ σ -->
1
=
σ σ -->
x
=
(
0
1
1
0
)
σ σ -->
2
=
σ σ -->
y
=
(
0
− − -->
i
i
0
)
σ σ -->
3
=
σ σ -->
z
=
(
1
0
0
− − -->
1
)
{\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
לדוגמה, אופרטור הספין במרחב המצבים העצמיים של ספין 1 2
S
→ → -->
=
ℏ ℏ -->
2
σ σ -->
→ → -->
=
ℏ ℏ -->
2
(
σ σ -->
x
x
^ ^ -->
+
σ σ -->
y
y
^ ^ -->
+
σ σ -->
z
z
^ ^ -->
)
{\displaystyle {\vec {S}}={\frac {\hbar }{2}}{\vec {\sigma }}={\frac {\hbar }{2}}\left(\sigma _{x}{\hat {x}}+\sigma _{y}{\hat {y}}+\sigma _{z}{\hat {z}}\right)}
σ σ -->
i
† † -->
=
σ σ -->
i
− − -->
1
=
σ σ -->
i
{\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i}}
Tr
-->
(
σ σ -->
i
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0}
det
(
σ σ -->
i
)
=
− − -->
1
{\displaystyle \det(\sigma _{i})=-1}
מעל
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
מטריצת היחידה מהוות יחד בסיס למרחב המטריצות המרוכבות ההרמיטיות
2
× × -->
2
{\displaystyle 2\times 2}
מעל
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
מטריצת היחידה מהוות יחד בסיס למרחב כל המטריצות המרוכבות
2
× × -->
2
{\displaystyle 2\times 2}
לכל אחת ממטריצות פאולי שני ערכים עצמיים : (1+) ו־(1-).
כל אחת ממטריצות פאולי מקיימת את השוויון :
σ σ -->
i
2
=
I
{\displaystyle \sigma _{i}^{2}=I}
I
{\displaystyle I}
כפל מטריצות :
σ σ -->
1
σ σ -->
2
=
i
σ σ -->
3
{\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3}\,\!}
σ σ -->
3
σ σ -->
1
=
i
σ σ -->
2
{\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2}\,\!}
σ σ -->
2
σ σ -->
3
=
i
σ σ -->
1
{\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1}\,\!}
אם
i
≠ ≠ -->
j
{\displaystyle i\neq j}
σ σ -->
i
σ σ -->
j
=
− − -->
σ σ -->
j
σ σ -->
i
{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}}
יחסי חילוף (קומוטציה) ואנטי-חילוף (אנטי-קומוטציה):
[
σ σ -->
i
,
σ σ -->
j
]
=
2
i
ε ε -->
i
j
k
σ σ -->
k
{
σ σ -->
i
,
σ σ -->
j
}
=
2
δ δ -->
i
j
⋅ ⋅ -->
I
{\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}\\[1ex]\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot I\end{matrix}}}
את הזהויות לעיל אפשר לסכם כך:
σ σ -->
i
σ σ -->
j
=
δ δ -->
i
j
⋅ ⋅ -->
I
+
i
ε ε -->
i
j
k
σ σ -->
k
{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\cdot I+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\,}
כאשר
δ δ -->
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
הדלתא של קרונקר ו
ε ε -->
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
סימן לוי-צ'יוויטה . עבור וקטורים
a
→ → -->
,
b
→ → -->
{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}
(
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
σ σ -->
→ → -->
)
(
b
→ → -->
⋅ ⋅ -->
σ σ -->
→ → -->
)
=
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
+
i
σ σ -->
→ → -->
⋅ ⋅ -->
(
a
→ → -->
× × -->
b
→ → -->
)
{\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\quad \quad \quad \quad \,}
σ σ -->
2
σ σ -->
k
σ σ -->
2
=
− − -->
σ σ -->
k
∗ ∗ -->
{\displaystyle \ \sigma _{2}\sigma _{k}\sigma _{2}=-\sigma _{k}^{*}}
Tr
-->
(
σ σ -->
i
σ σ -->
j
)
=
2
δ δ -->
i
j
{\displaystyle \ \operatorname {Tr} (\sigma ^{i}\sigma ^{j})=2\delta ^{ij}}
למטריצות פאולי מספר שימושים בתורת הקוונטים, ביניהם:
עבור ספין 1 2
n
^ ^ -->
{\displaystyle \ {\hat {n}}}
ℏ ℏ -->
2
σ σ -->
→ → -->
⋅ ⋅ -->
n
^ ^ -->
{\displaystyle \ {\frac {\hbar }{2}}{\vec {\sigma }}\cdot {\hat {n}}}
1 2
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
n
^ ^ -->
{\displaystyle \ {\hat {n}}}
e
− − -->
i
θ θ -->
2
(
n
^ ^ -->
⋅ ⋅ -->
σ σ -->
→ → -->
)
=
cos
-->
θ θ -->
2
− − -->
i
(
n
^ ^ -->
⋅ ⋅ -->
σ σ -->
)
sin
-->
θ θ -->
2
{\displaystyle e^{-i{\frac {\theta }{2}}({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {\frac {\theta }{2}}-i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sin {\frac {\theta }{2}}\,}
מטריצות פאולי משמשות לבניית מטריצות גאמה של דיראק , הנמצאות בניסוח היחסותי האינווריאנטי-לורנץ של משוואת דיראק .
בפיזיקה גרעינית משתמשים במטריצות פאולי לתיאור טרנספורמציות של חלקיקים בעלי איזוספין 1 2 נוקליאונים ). בתחום זה, מטריצות פאולי מסומנות בדרך כלל ב־
τ τ -->
i
{\displaystyle \ \tau _{i}}
מטריצות פאולי הן היוצרות של ההצגה מממד 2 של חבורת לי
S
U
(
2
)
{\displaystyle \ SU(2)}
בחישוב קוונטי , השערים הלוגים מיוצגים על ידי מטריצות אוניטריות בגודל 2x2, ומטריצות פאולי מייצגות כמה מהשערים החשובים ביותר.
שם השמות שלהם הם:
X
=
σ σ -->
1
,
Y
=
σ σ -->
2
,
Z
=
σ σ -->
3
{\displaystyle X=\sigma _{1},Y=\sigma _{2},Z=\sigma _{3}}
![{\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}\\[1ex]\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot I\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450cfd37e7d4f2865b026fdc3b145dbdb9be1d0b)
