אופרטור אוניטרי

באלגברה ליניארית, אופרטור אוניטרי הוא אופרטור ליניארי של מרחב מכפלה פנימית מעל שדה המספרים המרוכבים, המקיים את התנאי ${\displaystyle UU^{*}=U^{*}U=I}$, כאשר ${\displaystyle U^{*}}$ הוא הצמוד ההרמיטי של ${\displaystyle U}$ ו-${\displaystyle I}$ הוא אופרטור הזהות. באופן דומה, מטריצה ריבועית מרוכבת ${\displaystyle A}$ היא אוניטרית אם ${\displaystyle AA^{*}=I}$, כאשר ${\displaystyle A^{*}}$ הוא הצמוד המרוכב של המטריצה המשוחלפת ${\displaystyle A^{t}}$ (ההגדרות מתלכדות, אם חושבים על המטריצה כאופרטור ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$, ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית של מרחב הווקטורים) ו-${\displaystyle I}$ היא מטריצת היחידה. אופרטור אוניטרי אנלוגי במובנים רבים למספר מרוכב שערכו המוחלט הוא 1, וזאת בגלל הקשר בין מושג הצמידות ההרמיטית למושג ה"צמוד המרוכב", ומשום שכל מספר מרוכב ${\displaystyle z}$ שערכו המוחלט הוא 1 מקיים: ${\displaystyle z{\bar {z}}=1}$.

הגדרה שקולה

יהי ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי ממימד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים עם מכפלה פנימית.

${\displaystyle f:V\rightarrow V}$ יקרא אופרטור אוניטרי אם מתקיים:

${\displaystyle \langle f(u),f(v)\rangle =\langle u,v\rangle }$ לכל ${\displaystyle u,v}$ ב-${\displaystyle V}$.

שמירת מרחק

אופרטור אוניטרי שומר על הגאומטריה של המרחב. הוא אינו משנה אורך של וקטורים, ושומר גם על הזוויות. למעשה כל אופרטור שומר אורך (כלומר, המקיים ${\displaystyle \|U(x)\|=\|x\|}$ לכל ${\displaystyle x}$) הוא אוניטרי. הדוגמה המובהקת לאופרטור אוניטרי הוא סיבוב או שיקוף של המרחב, שאפשר לתאר גם כהחלפה של בסיס אורתונורמלי אחד באחר (אכן, מטריצת המעבר בין בסיסים אורתוגונליים היא אוניטרית). בפרט, העמודות של מטריצה אוניטרית מהוות בסיס אורתונורמלי.

במכניקת הקוונטים אופרטור אוניטרי מייצג פעולה שמכבדת את חוקי השימור, לרוב את חוק שימור ההסתברות וחוק שימור זרם ההסתברות.

חבורת המטריצות האוניטריות

אוסף המטריצות האוניטריות הוא חבורה ביחס לכפל מטריצות. הדטרמיננטה היא הומומורפיזם מן החבורה הזו אל החבורה ${\displaystyle S^{1}}$ של מספרים מרוכבים בעלי ערך מוחלט 1. הגרעין הוא אוסף המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה 1, הנקראות מטריצות אוניטריות מיוחדות.

לחבורות אלה יש חשיבות רבה בתורת שדות ובמודל הסטנדרטי. הפיזיקאים יובל נאמן ומארי גל-מן הראו שאפשר למיין את הקווארקים לקבוצות באמצעות חבורת הסימטריה ${\displaystyle SU(3)}$.

הקשר לטיפוסי מטריצות אחרים

מטריצה ממשית אוניטרית היא מטריצה אורתוגונלית; העמודות של מטריצה כזו מהוות בסיס אורתונורמלי, וכן גם השורות שלה.

אם ${\displaystyle A}$ אופרטור הרמיטי אזי ${\displaystyle U=\exp {(iA)}}$ הוא אופרטור אוניטרי, וכל אופרטור אוניטרי הוא בעל צורה כזו.

ראו גם

• חבורת SU
• אופרטור
• מטריצה
• שדה המספרים המרוכבים
• אלגברה ליניארית
• מרחב הילברט
• העתקה צפידה

קישורים חיצוניים

• אופרטור אוניטרי, באתר MathWorld (באנגלית)