התפלגות שולית

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות השולית מתארת את ההתפלגות של תת קבוצה ממש של קבוצה של שניים או יותר משתנים מקריים, ללא התייחסות לערכים של יתר המשתנים המקריים. כאשר דנים בהתפלגויות בדידות, שניתנות להצגה כטבלה, ניתן לחשב את ערכי ההתפלגות השולית על ידי סיכום ערכים בטבלה לאורך שורות או עמודות, וכתיבת הסכום בשולי הטבלה.^[1] זהו המקור לשם התפלגות שולית. במקרים רבים מתייחסים להתפלגות השולית כהתפלגות של תת-קבוצה הכוללת משתנה מקרי אחד.

במחקר תאורטי, שבו עוסקים בהתפלגויות של משתנים מקריים רבים, בדידים או רציפים, יש חשיבות רבה לחישוב של התפלגויות שוליות. ואכן מושג זה הוא מרכזי בתחומים של הסקה סטטיסטית ובתחומים רבים של למידת מכונה כמו רשתות ביסיאניות, מודלים מרקובים חבויים, מודלים של משפחה מעריכית, מודל הקצאת דיריכלת סמויה (אנ') ועוד.

הגדרה

פונקציית הסתברות שולית - שני משתנים מקריים בדידים

תהי ${\displaystyle p}$ פונקציית התפלגות משותפת של שני משתנים מקריים בדידים, X ו- Y. ההתפלגות השולית של המשתנה X, ${\displaystyle p_{X}(x)}$ היא התפלגות ההסתברות של המשתנה המקרי X כאשר מסכמים עבור כל ערך של X את כל ערכי התפלגות ההסתברות המשותפת של כל הערכים של Y:

${\displaystyle p_{X}(x_{i})=\sum _{j}p(x_{i},y_{j})}$

ניתן באותו אופן לקבל את ${\displaystyle p_{Y}}$, ההתפלגות השולית של Y.

ניתן לכתוב את ההסתברות השולית גם כתוחלת של ההסתברויות המותנות, למשל: $${\displaystyle p_{X}(x)=\sum _{j}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y_{j})=\operatorname {E} _{Y}[p_{X\mid Y}(x\mid y)]}$$

דוגמה

הטבלה להלן מתארת ההתפלגות המשותפת של שני משתנים מקריים בדידים X ו- Y, שאינם בלתי תלויים. ערכי הסתברויות השוליות של X ו- Y מופיעות בשול התחתון ובשול השמאלי בהתאמה.

X Y	x1	x2	x3	x4	↓ pY(y)
y1	${\displaystyle {\frac {4}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {8}{32}}}$
y2	${\displaystyle {\frac {3}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {6}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {15}{32}}}$
y3	${\displaystyle {\frac {9}{32}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {9}{32}}}$
pX(x) ←	${\displaystyle {\frac {16}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {8}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {4}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {4}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {32}{32}}}$

הקשר לאי תלות של משתנים מקריים

ההתפלגות המשותפת של שני משתנים מקריים בלתי תלויים היא המכפלה של ההתפלגויות השוליות שלהן, כלומר ${\displaystyle p(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)}$ לכל ${\displaystyle x}$ ו ${\displaystyle y}$ .^[2]

פונקציית הסתברות שולית - שני משתנים מקריים רציפים

דגימות רבות מהתפלגות נורמלית בשני משתנים. ההתפלגויות השוליות מוצגות באדום וכחול. ההתפלגות השולית של X משוערכת על ידי יצירת היסטוגרמה של קואורדינטות X ללא התחשבות בקואורדינטות Y, ולהפך.

עבור שני משתנים מקריים רציפים X ו- Y עם פונקציית התפלגות משותפת ${\displaystyle f(x,y)}$, פונקציית צפיפות ההסתברות השולית של המשתנה המקרי X מתקבלת על ידי אינטגרציה של f על פני Y. באותו אופן מתקבלת ההתפלגות השולית של המשתנה המקרי Y. כלומר

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx}$

כאשר ${\displaystyle [a,b]}$, ו ${\displaystyle [c,d]}$ הם התומכים של X ו- Y בהתאמה.

פונקציית התפלגות מצטברת שולית

ניתן למצוא את פונקציית ההתפלגות המצטברת השולית מפונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת. נזכור כי ההתפלגות המצטברת מקיימת:

• עבור משתנים מקריים בדידים $${\displaystyle F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}$$
• עבור משתנים מקריים רציפים $${\displaystyle F(x,y)=\int _{a}^{x}\int _{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'}$$

אם X ו- Y מקבלים ערכים בתחומים [ a, b ] ו [ c, d ] בהתאמה ${\displaystyle F_{X}(x)=F(x,d)}$ ו ${\displaystyle F_{Y}(y)=F(b,y)}$ . אם d הוא ${\displaystyle \infty }$, הביטוי להתפלגות המצטברת ${\displaystyle F_{X}(x)}$ הופך לגבול ${\textstyle F_{X}(x)=\lim _{y\to \infty }F(x,y)}$ . כך גם עבור ${\displaystyle F_{Y}(y)}$ .

משתנים מרובים

ההכללה למקרה של התפלגויות משותפות של משתנים מרובים היא טבעית.^[2] אם X₁, X₂ ,..., X_n הם משתנים מקריים בדידים, אזי פונקציית ההסתברות השולית שלהם תהיה $${\displaystyle p_{X_{i}}(k)=\sum p(x_{1},x_{2},\dots ,x_{i-1},k,x_{i+1},\dots ,x_{n});}$$ אם X₁, X₂ ,..., X_n הם משתנים מקריים רציפים, אזי פונקציית צפיפות ההסתברות השולית של המשתנה X_i תתקבל על ידי אינטגרציה על כל המשתנים האחרים $${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}$$

ראו גם

• התפלגות הסתברות משותפת
• התפלגות מותנית

ביבליוגרפיה

• Everitt, B. S.; Skrondal, A. (2010). Cambridge Dictionary of Statistics. Cambridge University Press.
• Dekking, F. M.; Kraaikamp, C.; Lopuhaä, H. P.; Meester, L. E. (2005). A modern introduction to probability and statistics. London : Springer. ISBN 9781852338961.

הערות שוליים

1. Trumpler, Robert J. & Harold F. Weaver (1962). Statistical Astronomy. Dover Publications. pp. 32–33.
2. A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 9781852338961. OCLC 262680588.