הלמה של אוריסון היא תוצאה בסיסית בטופולוגיה קבוצתית, שהוכחה על ידי המתמטיקאי הרוסי-יהודי פאבל סמואילוביץ' אוריסון , ממייסדי הענף. הלמה, אותה הוכיח אוריסון בתחילת שנות העשרים של המאה העשרים , נחשבת לפעמים לתוצאה הלא טריוויאלית הראשונה בתחום.
הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב נורמלי , אפשר להפריד בין קבוצות סגורות באמצעות פונקציה רציפה , כלומר: לכל שתי קבוצות סגורות וזרות
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
f
{\displaystyle f}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
f
(
A
)
=
0
{\displaystyle f(A)=0}
f
(
B
)
=
1
{\displaystyle f(B)=1}
הפרדה מדויקת בין הקבוצות - זוהי תכונה המאפיינת מרחבים נורמליים באופן מושלם , ואינה מתקיימת בכל מרחב נורמלי.
כל מרחב מטרי , וגם כל מרחב האוסדורף קומפקטי הם מרחבים נורמליים, וכך הלמה זוכה לשימושים רבים בטופולוגיה. אחד השימושים החשובים שלה הוא ההכללה הקרויה משפט טיצה .
בין
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
בצל מקוננות, כאשר הטבעת שהיא
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
יהיו
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Q
∩ ∩ -->
[
0
,
1
]
=
{
r
n
}
n
=
1
∞ ∞ -->
{\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]=\{r_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
המספרים הרציונליים בין 0 ל 1 (כולל). אנו נבנה סדרת קבוצות ("טבעות")
{
V
r
}
r
∈ ∈ -->
Q
∩ ∩ -->
[
0
,
1
]
{\displaystyle \ \{V_{r}\}_{r\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}}
V
0
=
A
,
V
1
=
B
c
{\displaystyle \ V_{0}=A\ ,\ V_{1}=B^{c}}
לכל זוג רציונלים
V
r
¯ ¯ -->
⊂ ⊂ -->
V
q
⇐ ⇐ -->
r
<
q
{\displaystyle \ {\overline {V_{r}}}\subset V_{q}\Leftarrow r<q}
האפשרות לבנות כזאת קבוצה נובעת מהנורמליות של המרחב, שכן לכל שתי קבוצות
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
F
⊂ ⊂ -->
G
{\displaystyle \ F\subset G}
קבוצה פתוחה
V
{\displaystyle V}
F
⊂ ⊂ -->
V
⊂ ⊂ -->
V
¯ ¯ -->
⊂ ⊂ -->
G
{\displaystyle \ F\subset V\subset {\overline {V}}\subset G}
הוכחת הבנייה עצמה נעשית באינדוקציה .
פונקציית אוריסון
f
{\displaystyle f}
לכל
x
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle x\in A}
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
לכל
x
∈ ∈ -->
V
r
{\displaystyle x\in V_{r}}
f
(
x
)
=
inf
{
r
∈ ∈ -->
Q
∩ ∩ -->
[
0
,
1
]
|
x
∈ ∈ -->
V
r
}
{\displaystyle f(x)=\inf {\left\{r\in \mathbb {Q} \cap [0,1]\ |\ x\in V_{r}\right\}}}
לכל
x
∈ ∈ -->
B
{\displaystyle x\in B}
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle \ f(x)=1}
מכאן ברור ש
A
⊂ ⊂ -->
f
− − -->
1
(
0
)
,
B
⊂ ⊂ -->
f
− − -->
1
(
1
)
{\displaystyle A\subset f^{-1}(0),B\subset f^{-1}(1)}
f
{\displaystyle f}
תהי
W
{\displaystyle W}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
f
− − -->
1
[
0
,
t
)
{\displaystyle f^{-1}[0,t)}
f
− − -->
1
(
t
,
1
]
{\displaystyle f^{-1}(t,1]}
X
{\displaystyle X}
ראשית,
x
∈ ∈ -->
f
− − -->
1
[
0
,
t
)
{\displaystyle x\in f^{-1}[0,t)}
f
(
x
)
<
t
{\displaystyle f(x)<t}
f
{\displaystyle f}
t
=
1
{\displaystyle t=1}
inf
{
r
∣ ∣ -->
x
∈ ∈ -->
V
r
}
<
t
{\displaystyle \inf {\{r\mid x\in V_{r}\}}<t}
r
<
t
{\displaystyle r<t}
x
∈ ∈ -->
V
r
{\displaystyle x\in V_{r}}
לכן
f
− − -->
1
[
0
,
t
)
=
⋃ ⋃ -->
r
<
t
V
r
{\displaystyle \ f^{-1}[0,t)=\bigcup _{r<t}{V_{r}}}
שנית,
x
∈ ∈ -->
f
− − -->
1
(
t
,
1
]
{\displaystyle \ x\in f^{-1}(t,1]}
t
<
f
(
x
)
{\displaystyle t<f(x)}
inf
{
r
∣ ∣ -->
x
∈ ∈ -->
V
r
}
>
t
{\displaystyle \inf {\{r\mid x\in V_{r}\}}>t}
t
<
r
{\displaystyle t<r}
∀ ∀ -->
q
≤ ≤ -->
r
:
x
∉ ∉ -->
V
q
¯ ¯ -->
{\displaystyle \forall q\leq r:x\notin {\overline {V_{q}}}}
לכן
f
− − -->
1
(
t
,
1
]
=
⋃ ⋃ -->
t
<
r
V
r
¯ ¯ -->
c
{\displaystyle f^{-1}(t,1]=\bigcup _{t<r}{{\overline {V_{r}}}^{c}}}
מכאן נובע ש
f
{\displaystyle f}
פונקציה רציפה .
בכך הושלמה ההוכחה.
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]=\{r_{n}\}_{n=1}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba95c29a0f81b7fb2e2ab1289409b16319a275d)
![{\displaystyle \ \{V_{r}\}_{r\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad1db4d2d34a80cc819a0fc23617d8bb21da8b0)
![{\displaystyle f(x)=\inf {\left\{r\in \mathbb {Q} \cap [0,1]\ |\ x\in V_{r}\right\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a56d280f3c776b15bd20f588398d1a46318c22)
![{\displaystyle f^{-1}(t,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3315cad01c28369012a5636bb05df9c3ee0c272d)
![{\displaystyle \ x\in f^{-1}(t,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9b2e95fbeb5c9ddcb359f44797b11b8f753196)
![{\displaystyle f^{-1}(t,1]=\bigcup _{t<r}{{\overline {V_{r}}}^{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14fc7c383aa92899c852f393838eab44ffe2aee0)
