עקומת הסינוס של הטופולוגים

בטופולוגיה, עקומת הסינוס של הטופולוגים היא דוגמה קלאסית למרחב טופולוגי קשיר שאינו קשיר מסילתית.

הגדרה פורמלית

עקומת הסינוס של הטופולוגים מוגדרת כתת המרחב של ${\displaystyle \ R^{2}}$, המורכב מגרף הפונקציה ${\displaystyle \ \sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$ בקטע ${\displaystyle \ (0,\infty )}$ ומהקטע הסגור ${\displaystyle \ \{0\}\times [-1,1]}$.

כלומר, מדובר בתת-הגרף של המישור האוקלידי המוגדר על ידי הקבוצה: ${\displaystyle \ \{(x,\sin(1/x)):x>0\}\cup \{0\}\times [-1,1]}$

עקומת הסינוס של הטופולוגים

תכונות

ניתן להוכיח שעקומה זו קשירה, אך אינה קשירה מסילתית ואינה קשירה מקומית. זוהי הדוגמה הקלאסית למרחב טופולוגי קשיר שאיננו קשיר מסילתית.

עקומת הסינוס של הטופולוגים היא קומפקטית מקומית ואף קומפקטית. עם זאת עקומת הסינוס של הטופולוגים הפתוחה, בפירוט, תמונת הפונקציה הרציפה המוגדרת ${\displaystyle \ f(x)=(x,\sin(1/x))}$ לכל ${\displaystyle \ x>0}$, ו- ${\displaystyle \ f(x)=(0,0)}$ עבור ${\displaystyle \ x={-1}}$ של המרחב ${\displaystyle \ \{-1\}\cup (0,\infty )}$ היא תמונה רציפה של קומפקטית מקומית בעוד שאינה קומפקטית מקומית בעצמה.

קישורים חיצוניים

• עקומת הסינוס של הטופולוגים, באתר MathWorld (באנגלית)