יאנג נולדה בשם אמי מריה יאנג באשוויל, צפון קרוליינה, להורים מאמצים. היא שינתה את שמה כשרצתה להצטרף כחברה בגילדת שחקני המסך, משום שהייתה עוד שחקנית עם שם זהה. יאנג החלה ללמוד לתואר ראשון באוניברסיטת ייל בחוג לפיזיקה, אך עד מהרה עברה ללמוד בחוג לאנגלית ובחוג לתיאטרון ואת לימודיה שם סיימה בשנת 1991. לאחר מכן סיימה את האקדמיה הבריטית-אמריקאית לדרמה באוניברסיטת אוקספורד.
יאנג החלה את הקריירה שלה בתיאטרון. בשנות התשעים היא הופיעה בכמה מופעים של ברודוויי, ביניהם ההפקה המקורית של "החיים". מחוץ לברודוויי היא הופיעה במחזמר של סטיבן סונדהיים "מתגלגלים בשמחה" (1994) וכן בהפקתה של רנדי ניומן למחזה פאוסט (1995-1996).
בשנת 1995 עשתה יאנג את הופעת הבכורה שלה בטלוויזיה בתפקיד באופרת הסבון של רשת NBC, "עולם אחר", שם גילמה את דמותה של ד"ר קורטני אוואנס. היא השתתפה בשני תפקיד אורח שונים בסדרה "חוק וסדר". הופעתה הראשונה בקולנוע הייתה בשנת 1999, אז הופיעה בתפקיד קטן בסרט "שחור ולבן", ובהמשך השתתפה בעוד סרטים עצמאיים שונים.
בשנת 2011 לוהקה יאנג לגלם את הגברת הראשונה של ארצות הברית, מלי גרנט, בסדרת המתח הפוליטית של רשת ABC "סקנדל". היא הופיעה בכל הפרקים של העונה הראשונה ושודרגה לתפקיד ראשי החל מהעונה השנייה ועד סיום הסדרה ב-2018. יאנג אמרה מאוחר יותר שבמקור תפקידה היה אמור להיות תפקיד שולי, בן שלושה פרקים בלבד. על הופעתה בסדרה זו זכתה יאנג לביקורות חיוביות, ובהמשך קיבלה את פרס מבקרי הטלוויזיה לשחקנית המשנה הטובה ביותר בסדרת דרמה.