אסף אבידן גדל בירושלים, לצד שני אחים. בגיל שבע עבר יחד עם משפחתו לג'מייקה, שם שהה ארבע שנים במסגרת שליחות של אביו מטעם משרד החוץ. כשהיה בן 11 חזרה משפחתו לגור בשכונת רמות בירושלים, אך לאחר זמן מה עברו לגור בשכונת הקסטל במבשרת ציון.
בשנת 2006 עזב אסף אבידן את תל אביב ואת חברתו, וחזר לירושלים, שם החל לכתוב שירים, ברוח הפרידה וההתחלה חדשה. שירים אלו נאספו למיני-אלבום שנקרא "Now That You're Leaving" ויצא לאור בהוצאה עצמאית ובשיתוף פעולה עם חבריו המוזיקאים מירושלים, ביניהם תמר אייזנמן שהייתה גם חברה בהפקת האלבום הראשון, וחברה בכתיבת וביצוע השיר "Wait For It", מאותו אלבום.
לאחר יציאת האלבום, החל אבידן להופיע מצויד בגיטרה ובמפוחית, בברים ברחבי הארץ, כשמדי פעם חוברת אליו הצ'לנית הדס קליינמן. במהלך הופעותיו פגש את רן ניר, אז הבסיסט של "The Fans", לימים שותפו להופעות והבסיסט של המוג'וס. יוני שלג, המתופף, המוכר גם כג'וני סנואו, הצטרף דרך היכרות מוקדמת עם רן ניר והגיטריסט רועי פלד הצטרף ללהקה דרך החברות המשותפת עם תמר אייזנמן. ההרכב החל להופיע בשם "אסף אבידן והמו'גו ג'ייב קטס".
ביולי 2007 החלה הלהקה בהקלטה באולפני העוגן בעזרת המפיק המוזיקלי אורי ווינקור, ובשנת 2008 יצא אלבום הבכורה "The Reckoning", תחת השם החדש "אסף אבידן והמוג'וס".
אף על פי שאבידן ולהקתו לא היו חתומים בחברת תקליטים, האלבום נמכר בלמעלה מ-20,000 עותקים, מה שהעניק לו מעמד של אלבום זהב. קולו הייחודי של אבידן הביא רבים להשוות אותו עם הזמרת האמריקאית ג'ניס ג'ופלין.
באוגוסט 2009 חתמה הלהקה על הסכם עם חברת סוני-קולומביה באירופה, אשר רכשה את הזיכיון לארבעת האלבומים הראשונים של אבידן, מחברת ההפקות שלו ושל אחיו רועי, "טלמבר". בספטמבר 2009 הוציאה הלהקה את אלבומה השני, שפורסם בשתי מהדורות בעלות שם שונה ועיצוב עטיפה שונה, כאשר במהדורה אחת נקרא האלבום "Poor Boy" ובשנייה "Lucky Man". גם אלבום זה הגיע למעמד של אלבום זהב. באותה שנה זכה אבידן בפרס אקו"ם ל"תגלית השנה".[1]
בשנת 2012 הקליט אבידן את האלבום "Avidan In A Box", אלבום גרסאות כיסוי אקוסטי לשיריו הישנים שפורסם ונמכר דיגיטלית בלבד.
גרסת רמיקס של הדי ג'יי הגרמני Wankelmut לשיר "(Reckoning song (One Day" שהתפרסמה באותה שנה זכתה ל-200 מיליון צפיות ביוטיוב (נכון למרץ 2021 זהו הסרטון השני ברשימת הסרטונים הישראלים הנצפים ביותר ביוטיוב) ונמכרה בכמיליון וחצי עותקים, תחילה למרות התנגדותו של אבידן ולאחר מכן באישורו.
באפריל 2012 הוציא אבידן סינגל ראשון מאלבום הסולו שלו בשם "Different Pulses" שלווה בקליפ שביים וניה הימן. האלבום "Different Pulses", בהפקתו של תמיר מוסקט יצא בישראל בספטמבר 2012 וברחבי העולם בתחילת 2013, שם הגיע לראש מצעדי המכירות תוך זמן קצר.[3] בישראל זכה האלבום למעמד אלבום זהב ובצרפת הגיע למעמד אלבום פלטינה, כשבאירופה כולה מכר האלבום למעלה מ-200,000 עותקים.
יציאת האלבום לוותה בסיבוב הופעות בחו"ל בו הופיע לפני כחצי מיליון איש.[4]
באותה שנה נבחר אבידן על ידי עיתון "הארץ" למקום העשירי ברשימת המשפיעים במוזיקה הישראלית.[5] כמו כן נבחר לאיש השנה במוזיקה של תחנת הרדיו גלגלצ ובכך היה למוזיקאי הישראלי הראשון ששר באנגלית שזכה בתואר זה.
באוקטובר 2014 יצא סינגל ראשון מאלבום הסולו השני של אבידן בשם "Over My Head" ובחודש דצמבר יצא הסינגל "Little Parcels of an Endless Time". בינואר 2015 יצא האלבום המלא, שנקרא "Gold Shadow" וכמו קודמו הופק בשיתוף עם המוזיקאי תמיר מוסקט.
בנובמבר 2017 הוציא אבידן את אלבום הסולו השלישי שלו, "The Study on Falling", כמעט שלוש שנים לאחר אלבומו הקודם.[6]
בשנת 2020 הוציא את אלבום הסולו הרביעי שלו, "Anagnorisis".[7]
נכון למאי 2022 הוא הישראלי השלישי המושמע ביותר בספוטיפיי עם כ-2.3 מיליון מאזינים חודשיים.
אבידן הוציא ב-24 בנובמבר 2023 את האלבום "In A BOX III", שכולל גרסאות אקוסטיות לשירים מקוריים וישנים נוספים במהלך הקריירה שלו. [דרוש מקור]
אבידן פיסל את הדמויות בספר הילדים ״גיל הפיל נוסע לגליל״ שכתבה כרמי כץ-בק ויצא לאור בשנת 2005 ע״י הוצאת כתר ספרים, בתקציר הספר נכתב כי ״אסף אבידן נולד בירושלים בשנת 1980. עוסק בתחומים שונים של אמנות, אך אהבתו האמיתית היא פלסטלינה. עובד כיום כאנימטור באלפני "פיל אנימציה" ומדבב סרטים מצירים. בין שעות העבודה אינו מחמיץ הזדמנות לפסל דמות או שתים מן החומר שהוא אוהב כל כך״.