Álxebra elemental

A álxebra elemental inclúe os conceptos básicos de álxebra, que é unha das ramas principais das matemáticas. Mentres que na aritmética só aparecen os números e as súas operacións aritméticas elementais, na álxebra tamén se empregan símbolos para denotar números (x, y, a, b). Estes denomínanse variables, incógnita, coeficientes, índices ou raíz, segundo o caso. O termo álxebra elemental úsase para distinguir este campo da álxebra abstracta, a parte da matemática que estuda as estruturas alxébricas.

O anterior é útil porque:

• permite a xeneralización de ecuacións aritméticas (e de inecuacións) para ser indicadas como leis (por exemplo ${\displaystyle \,a+b=b+a}$ para toda ${\displaystyle \,a}$ e ${\displaystyle \ b}$), e é así o primeiro paso cara ao estudo sistemático das propiedades do sistema dos números reais;
• permite a referencia a números que non se coñecen; no contexto dun problema, unha variable pode representar certo valor que aínda non se coñece, pero que pode ser atopado coa formulación e a manipulación das ecuacións;
• permite a exploración de relacións matemáticas entre as cantidades.

Estes tres son os fíos principais da álxebra elemental, que deben distinguirse da álxebra abstracta, un tema máis avanzado que xeralmente se estuda no ámbito universitario.

Na álxebra elemental, unha expresión pode conter números, variables e operacións aritméticas. Por convención, estes xeralmente escríbense cos termos con expoñente máis altos á esquerda; algúns exemplos son:

Nunha álxebra máis avanzada, unha expresión tamén pode incluír funcións elementais.

Unha ecuación é a afirmación de que dúas expresións son iguais. Algunhas ecuacións son certas para todos os valores das variables implicadas (por exemplo ${\displaystyle \,a+b=b+a}$); tales ecuacións chámanse identidades. As ecuacións condicionais son certas só para algúns valores das variables implicadas: ${\displaystyle \,x^{2}-1=4}$. Os valores das variables que fan a ecuación verdadeira chámanse solucións da ecuación.

Signos alxébricos

Signos de operación

Do mesmo xeito que na aritmética, na álxebra úsanse as operacións de suma, resta, multiplicación, e división. Adicionalmente están as operacións de potenciación, radicación e logaritmos.

Os signos de operación son:

• suma: +:

${\displaystyle a+b\;}$.

• resta: -:

${\displaystyle a-b\;}$

• multiplicación: × ou ·, ou é implícito entre as variables:

${\displaystyle a\times b\;;\quad a\cdot b\;;\quad a\;b}$

• división: /, : ou ${\displaystyle \div }$:

${\displaystyle a/b\;;\quad a:b\;;\quad a\div b\;;\quad {\cfrac {a}{b}}}$

• potenciación: represéntase cun pequeno número ou letra colocado arriba á dereita dunha cantidade:

${\displaystyle a^{b}\;;\quad e^{a}=\exp a}$

• radicación:

${\displaystyle {\sqrt {a}}\;;\quad {\sqrt[{b}]{a}}}$

• logaritmos:

${\displaystyle \ln a\;;\quad \lg a\;;\quad \log a\;;\quad \log _{b}a}$

Signos de relación

Indican a relación que hai entre dúas expresións. Os signos de relación son:

• menor que: <
• maior que: >
• igual a: =
• diferente a: ≠

Signos de agrupación

Os signos de agrupación empréganse para cambiar a orde das operacións. As operacións indicadas dentro deles deben realizarse primeiro.

Os signos de agrupación son:

• as parénteses: ()
• os corchetes: []
• as chaves: {}
• as barras: ||

De non aparecer signo entre o número e o signo de agrupación, tense que realizar unha multiplicación; por exemplo:

• 15 (3-2) = 15

Outro exemplo sería:

• 8 + (5+4) = (5+4) + 8

Expresións alxébricas

Termo

Un termo é unha expresión alxébrica elemental onde se atopan só operacións de multiplicación e división de números e letras. O número chámase coeficiente e as letras constitúen a parte literal. Tanto o número como cada letra poden estar elevados a unha potencia. Nunha expresión alxébrica con varios termos, estes están separados con signos de suma e resta.

Termo independente

O termo independente é o que consta de só un valor numérico e non ten parte literal.

Termos semellantes

Os termos semellantes son os que teñen exactamente a mesma parte literal (coas mesmas letras elevadas aos mesmos expoñentes), e varían só no coeficiente. Só se poden sumar e restar termos semellantes. Non se poden sumar e restar termos que non sexan semellantes; con todo, pódense multiplicar e dividir todo tipo de termos. Se nunha expresión alxébrica hai varios termos semellantes, estes pódense simplificar sumándoos ou restándoos.

Grao dun termo

O grao dun termo pode ser de dous tipos: grao absoluto e grao relativo.

Polinomio

Un polinomio é unha expresión alxébrica na que só interveñen as operacións de suma, resta e multiplicación, así como expoñentes enteiros positivos.^[1] Cando o polinomio consta dun, de dous ou de tres termos chámase monomio, binomio ou trinomio, respectivamente. Xeralmente, un polinomio P na variable x exprésase como:

${\displaystyle P(x)_{}^{}=}$ ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}.}$

Valor numérico dun polinomio

É o valor que se obtén ao substituír as letras por valores numéricos e logo realizar as operacións do polinomio.

Leis da álxebra elemental

Propiedades das operacións

• A operación de adición (+)
  • escríbese ${\displaystyle \,a+b}$
  • é conmutativa: ${\displaystyle \,a+b=b+a}$
  • é asociativa: ${\displaystyle \,(a+b)+c=a+(b+c)}$
  • ten unha operación inversa chamada subtracción: ${\displaystyle \,(a+b)-b=a}$, que es igual a sumar un número negativo, ${\displaystyle \,a-b=a+(-b)}$
  • ten un elemento neutro 0 que non altera a suma: ${\displaystyle \,a+0=a}$
• A operación de multiplicación (×)
  • escríbese ${\displaystyle \,(a\times b)}$ ó ${\displaystyle \,(a\cdot b)}$
  • é conmutativa: ${\displaystyle \,(a\cdot b)}$ = ${\displaystyle \,(b\cdot a)}$
  • é asociativa: ${\displaystyle \,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
  • abréviase por xustaposición: ${\displaystyle a\cdot b\equiv ab}$
  • ten unha operación inversa, para números diferentes a cero, chamada división: ${\displaystyle {\frac {(ab)}{b}}=a}$, que é igual a multiplicar polo recíproco, ${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\left({\frac {1}{b}}\right)}$
  • ten un elemento neutro 1 que non altera a multiplicación: ${\displaystyle a\times 1=a}$
  • é distributiva respecto á adición: ${\displaystyle \,(a+b)\cdot c=ac+bc}$
• A operación de potenciación
  • escríbese ${\displaystyle \,a^{b}}$
  • é unha multiplicación repetida: ${\displaystyle a^{n}=a\times a\times \ldots \times a}$ (n veces)
  • non é nin comutativa nin asociativa: en xeral ${\displaystyle \,a^{b}\neq b^{a}}$ e ${\displaystyle \,(a^{b})^{c}\neq a^{(b^{c})}}$
  • ten unha operación inversa, chamada logaritmo: ${\displaystyle \,a^{log_{a}b}=b=log_{a}a^{b}}$
  • pode escribirse en como raíz n-ésima: ${\displaystyle \ a^{m/n}\equiv ({\sqrt[{n}]{a^{m}}})}$ e polo tanto as raíces pares dos números negativos non existen no conxunto dos números reais.
  • é distributiva con respecto á multiplicación: ${\displaystyle \,(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}}$
  • ten a propiedade: ${\displaystyle \ {a^{b}}\cdot {a^{c}}=a^{b+c}}$
  • ten a propiedade: ${\displaystyle \,(a^{b})^{c}=a^{bc}}$^[2]

Orde das operacións

Para completar o valor dunha expresión, é necesario calcular partes dela nunha orde particular, coñecida como a orde de prioridade ou a xerarquía das operacións. Primeiro calcúlanse os valores das expresións encerradas en signos de agrupación (paréntese, corchetes, chaves), despois as multiplicacións e divisións e, por último, as sumas e as restas.

Leis da igualdade

A relación de igualdade (=) ten as propiedades seguintes:

• se ${\displaystyle \,a=b}$ e ${\displaystyle \,c=d}$ entón ${\displaystyle \,a+c=b+d}$ e ${\displaystyle \,ac=bd}$
• se ${\displaystyle \,a=b}$ entón ${\displaystyle \,a+c=b+c}$
• se dous símbolos son iguais, entón un pode ser substituído polo outro.
• regularidade da suma: traballando con números reais ou complexos ocorre que se ${\displaystyle \,a+c=b+c}$ entón ${\displaystyle \,a=b}$.
• regularidade condicional da multiplicación: se ${\displaystyle \,a\cdot c=b\cdot c}$ e ${\displaystyle \,c}$ non é cero, entón ${\displaystyle \,a=b}$.

Leis da desigualdade

A relación de desigualdade (<) ten as seguintes propiedades:

• transitividade: se ${\displaystyle \,a<b}$ e ${\displaystyle \,b<c}$ entón ${\displaystyle \,a<c}$
• se ${\displaystyle \,a<b}$ e ${\displaystyle \,c<d}$ entón ${\displaystyle \,a+c<b+d}$
• se ${\displaystyle \,a<b}$ e ${\displaystyle \,c>0}$ entón ${\displaystyle \,ac<bc}$
• se ${\displaystyle \,a<b}$ e ${\displaystyle \,c<0}$ entón ${\displaystyle \,bc<ac}$

Regra dos signos

No produto e no cociente de números positivos (+) e negativos (-) cúmprense as seguintes regras:

${\displaystyle {\begin{cases}+\cdot -=-\\+\cdot +=+\\-\cdot -=+\\-\cdot +=-\end{cases}}}$

Notas

1. Polinomio
2. Mirsky, Lawrence, 1990, p.72-3

Véxase tamén

Outros artigos

• Álxebra
• Teorema fundamental da álxebra
• Polinomio
• Ecuación
• Ecuación linear
• Ecuación de segundo grao

Bibliografía

• Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions 2006, 1822.[1][2]
• Mirsky, Lawrence (1990): An Introduction to Linear Algebra, Library of Congress. p. 72-3. ISBN 0-486-66434-1.
• Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.