Veciñanza (matemáticas)

Un conxunto ${\displaystyle V}$ no plano é unha veciñanza dun punto ${\displaystyle p}$ se un pequeno disco ao redor de ${\displaystyle p}$ está contido en ${\displaystyle V.}$ O pequeno disco ao redor de ${\displaystyle p}$ é un conxunto aberto ${\displaystyle U.}$

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, unha veciñanza é un dos conceptos básicos nun espazo topolóxico. Está moi relacionado cos conceptos de conxunto aberto e interior. Falando intuitivamente, unha veciñanza dun punto é un conxunto de puntos que contén ese punto e a partir do que nos podemos mover algunha cantidade en calquera dirección sen saír do conxunto.

Definicións

Veciñanza dun punto

Se ${\displaystyle X}$ é un espazo topolóxico e ${\displaystyle p}$ é un punto ${\displaystyle X,}$ entón unha veciñanza^[1] de ${\displaystyle p}$ é un subconxunto ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle X}$ que inclúe un conxunto aberto ${\displaystyle U}$ que contén ${\displaystyle p}$, $${\displaystyle p\in U\subseteq V\subseteq X.}$$

Isto é equivalente a que o punto ${\displaystyle p\in X}$ pertence ao interior topolóxico de ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle X.}$

A veciñanza ${\displaystyle V}$ non ten que ser un subconxunto aberto de ${\displaystyle X.}$ Cando ${\displaystyle V}$ é aberto (resp. pechado, compacto, etc.) en ${\displaystyle X,}$ chámase unha veciñanza aberta^[2] (resp. veciñanza pechada, veciñanza compacta, etc.). Algúns autores ^[3] requiren que a veciñanza sexa aberta, polo que é importante ter en conta as súas convencións.

Un rectángulo pechado non ten unha veciñanza en ningunha das súas esquinas nin nos seus lados xa que non hai un conxunto aberto dentro de ${\displaystyle V}$ que conteña ningunha esquina ou lados.

Un conxunto que é unha veciñanza de cada un dos seus puntos é aberto xa que se pode expresar como a unión de conxuntos abertos que contén cada un dos seus puntos. Un rectángulo pechado, como se ilustra na figura, non é unha veciñanza de todos os seus puntos; os puntos dos lados e os das esquinas do rectángulo non están contidos en ningún conxunto aberto que estea contido dentro do rectángulo.

A colección de todos as veciñanzas dun punto chámase base de veciñanza no punto.

Veciñanza dun conxunto

Se ${\displaystyle S}$ é un subconxunto dun espazo topolóxico ${\displaystyle X}$, entón unha veciñanza de ${\displaystyle S}$ é un conxunto ${\displaystyle V}$ que inclúe un conxunto aberto ${\displaystyle U}$ que contén ${\displaystyle S}$, $${\displaystyle S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.}$$Deducimos que un conxunto ${\displaystyle V}$ é unha veciñanza de ${\displaystyle S}$ se e só se é unha veciñanza de todos os puntos en ${\displaystyle S.}$ A maiores, ${\displaystyle V}$ é unha veciñanza de ${\displaystyle S}$ se e só se ${\displaystyle S}$ é un subconxunto do interior de ${\displaystyle V.}$ Unha veciñanza de ${\displaystyle S}$ que tamén é un subconxunto aberto de ${\displaystyle X}$ chámase unha veciñanza aberta de ${\displaystyle S.}$ A veciñanza dun punto é só un caso especial desta definición.

Nun espazo métrico

Un conxunto ${\displaystyle S}$ no plano e unha veciñanza uniforme ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle S.}$

A veciñanza épsilon dun número ${\displaystyle a}$ na recta numérica real.

Nun espazo métrico ${\displaystyle M=(X,d),}$ un conxunto ${\displaystyle V}$ é unha veciñanza dun punto ${\displaystyle p}$ se existe unha bóla aberta con centro ${\displaystyle p}$ e raio ${\displaystyle r>0,}$ tal que $${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$ está contido en ${\displaystyle V.}$

${\displaystyle V}$ chámase veciñanza uniforme dun conxunto ${\displaystyle S}$ se existe un número positivo ${\displaystyle r}$ tal que para todos os elementos ${\displaystyle p}$ de ${\displaystyle S,}$$${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$ está contido en ${\displaystyle V.}$

Baixo a mesma condición, para ${\displaystyle r>0,}$ a ${\displaystyle r}$-veciñanza ${\displaystyle S_{r}}$ dun conxunto ${\displaystyle S}$ é o conxunto de todos os puntos en ${\displaystyle X}$ que están a menos distancia ${\displaystyle r}$ dende ${\displaystyle S}$ (ou equivalente, ${\displaystyle S_{r}}$ é a unión de todas as bólas abertas de raio ${\displaystyle r}$ que están centradas nun punto ${\displaystyle S}$ ): $${\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}$$

Dedúcese directamente que unha ${\displaystyle r}$-veciñanza é unha veciñanza uniforme, e que un conxunto é unha veciñanza uniforme se e só se contén unha ${\displaystyle r}$-veciñanza para algún valor de ${\displaystyle r.}$

Exemplos

O conxunto M é unha veciñanza do número a, porque hai unha veciñanza ε de a que é un subconxunto de M.

Dado o conxunto de números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ coa métrica euclidiana habitual e un subconxunto ${\displaystyle V}$ definido como $${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),}$$entón ${\displaystyle V}$ é unha veciñanza para o conxunto ${\displaystyle \mathbb {N} }$ de números naturais, pero non é unha veciñanza uniforme deste conxunto.

Topoloxía das veciñanzas

A definición anterior é útil se a noción de conxunto aberto xa está definida. Hai unha forma alternativa de definir unha topoloxía, definindo primeiro a base de veciñanzas e despois os conxuntos abertos como aqueles conxuntos que conteñen unha veciñanza de cada un dos seus puntos.

Unha base de veciñanzas en ${\displaystyle X}$ é a asignación dun filtro ${\displaystyle N(x)}$ de subconxuntos de ${\displaystyle X}$ a cada ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle X,}$ tal que

1. o punto ${\displaystyle x}$ é un elemento de cada ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle N(x)}$
2. cada ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle N(x)}$ contén algún ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle N(x)}$ tal que para cada ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$ está en ${\displaystyle N(y).}$

Pódese demostrar que ambas as definicións son compatíbeis.

Veciñanzas uniformes

Nun espazo uniforme ${\displaystyle S=(X,\Phi ),}$${\displaystyle V}$ chámase un veciñanza uniforme de ${\displaystyle P}$ se existe un acompañamento (entourage) ${\displaystyle U\in \Phi }$ tal que ${\displaystyle V}$ contén todos os puntos de ${\displaystyle X}$ que son ${\displaystyle U}$-próximos dalgún punto de ${\displaystyle P;}$ é dicir, ${\displaystyle U[x]\subseteq V}$ para todos os ${\displaystyle x\in P.}$

Veciñanza eliminada

Unha veciñanza eliminada dun punto ${\displaystyle p}$ (ás veces chamada veciñanza perforada) é unha veciñanza de ${\displaystyle p,}$ sen ${\displaystyle \{p\}.}$ Por exemplo, o intervalo ${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$ é unha veciñanza de ${\displaystyle p=0}$ na liña real, polo que o conxunto ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$ é unha veciñanza eliminada de ${\displaystyle 0.}$ Unha veciñanza eliminada dun punto dado non é en realidade unha veciñanza do punto. O concepto de veciñanza eliminada dáse na definición do límite dunha función e na definición dos puntos límite (entre outras cousas).^[4]

Notas

1. Willard 2004.
2. General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. 1984. p. 6. ISBN 0-387-90972-9. Consultado o registration. 
3. Engelking 1989, p. 12.
4. "FUNCTIONS: LIMITS AND CONTINUITY" (PDF). University of Houston Math. 

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Veciñanza

Bibliografía

• Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. 
• Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4. 
• Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2694-8. 
• Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6. 

Outros artigos

• Punto illado
• Base de veciñanza
• Rexión (matemáticas)
• Veciñanza Tubular