Regresión (xeometría diferencial)

Sexa ${\displaystyle \phi :M\to N}$ un mapa suave entre variedades suaves ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$. Daquela hai unha aplicación linear asociada a partir do espazo das 1-formas ${\displaystyle N}$ (o espazo linear das seccións do fibrado cotanxente) no espazo das 1-formas en ${\displaystyle M}$. Este mapa linear coñécese como regresión ou pullback (mediante ${\displaystyle \phi }$), e denótase frecuentemente por ${\displaystyle \phi ^{*}}$. De forma máis xeral, calquera campo tensor covariante, en particular calquera forma diferencial, en ${\displaystyle N}$ pode ser retrocedido a ${\displaystyle M}$ usando ${\displaystyle \phi }$ .

Regresións de funcións suaves e mapas suaves

Sexa ${\displaystyle \phi :M\to N}$ un mapa suave entre variedades (suaves), ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$, e supoñamos que ${\displaystyle f:N\to \mathbb {R} }$ é unha función suave en ${\displaystyle N}$. Daquela a regresión de ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle \phi }$ é a función suave ${\displaystyle \phi ^{*}f}$ en ${\displaystyle M}$ definida por ${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$. Do mesmo xeito, se ${\displaystyle f}$ é unha función suave nun conxunto aberto ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle N}$, entón a mesma fórmula define unha función suave no conxunto aberto ${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$. (Na linguaxe de feixes, unha regresión define un morfismo a partir do feixe de funcións suaves ${\displaystyle N}$ na imaxe directa por ${\displaystyle \phi }$ do feixe de funcións suaves sobre ${\displaystyle M}$.)

De xeito máis xeral, se ${\displaystyle f:N\to A}$ é un mapa suave de ${\displaystyle N}$ en calquera outra variedade ${\displaystyle A}$, daquela ${\displaystyle (\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))}$ é un mapa suave de ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle A}$.

Regresión de fibrados e seccións

Se ${\displaystyle E}$ é un fibrado vectorial (ou realmente calquera fibrado) sobre ${\displaystyle N}$ e ${\displaystyle \phi :M\to N}$ é un mapa suave, daquela o fibrado de regresión ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ é un fibrado vectorial (ou fibrado) sobre ${\displaystyle M}$ cuxa fibra sobre ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle M}$ está dada por ${\displaystyle (\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}}$.

Regresión de formas multilineares

Sexa Φ: V → W unha aplicación linear entre espazos vectoriais V e W (é dicir, Φ é un elemento de L(V, W), tamén denotado Hom(V, W)), e sexa

${\displaystyle F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbf {R} }$

unha forma multilinear en W (tamén coñecida como tensor, que non debe confundirse cun campo tensor, de rango (0, s), onde s é o número de factores de W no produto). Entón a regresión Φ^∗F de F por Φ é unha forma multilinear en V definida precompoñendo F con Φ. Máis precisamente, dados os vectores v₁, v₂, ..., v_s en V, Φ^∗F defínese pola fórmula

${\displaystyle (\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),}$

que é unha forma multilinear en V. Polo tanto, Φ^∗ é un operador (linear) desde formas multilineares en W ata formas multilineares en V. Como caso especial, teña en conta que se F é unha forma linear (ou (0,1)-tensor) en W, de xeito que F é un elemento de W ^∗, o espazo dual de W, entón Φ^∗F é un elemento de V^∗, polo que a regresión por Φ define un mapa linear entre espazos duais que actúa na dirección oposta ao propio mapa linear Φ:

${\displaystyle \Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.}$

Desde o punto de vista tensorial, é natural tentar estender a noción de regresión a tensores de rango arbitrario, é dicir, a mapas multilineares en W tomando valores nun produto tensorial de r copias de W, é dicir, W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. Porén, os elementos deste produto tensor non regresan de forma natural. Mais hai unha operación de pulo de V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V a W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W dado por

${\displaystyle \Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).}$

No entanto, disto dedúcese que se Φ é invertíbel, a regresión pódese definir usando un pulo mediante a función inversa Φ⁻¹. A combinación destas dúas construcións produce unha operación de pulo, ao longo dun mapa linear invertíbel, para tensores de calquera rango (r, s).

Regresión de vectores cotanxentes e 1-formas

Sexa ${\displaystyle \phi :M\to N}$ un mapa suave entre variedades suaves. Entón o diferencial de ${\displaystyle \phi }$, escrito ${\displaystyle \phi _{*}}$, ${\displaystyle d\phi }$ ou ${\displaystyle D\phi }$, é un morfismo de fibrado vectorial (sobre ${\displaystyle M}$) do fibrado tanxente ${\displaystyle TM}$ de ${\displaystyle M}$ na regresión do fibrado ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$. A transposición de ${\displaystyle \phi _{*}}$ é polo tanto un mapa de fibrados de ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$ en ${\displaystyle T^{*}M}$, o fibrado cotanxente de ${\displaystyle M}$.

Supoña agora que ${\displaystyle \alpha }$ é unha sección de ${\displaystyle T^{*}N}$ (unha 1-forma en ${\displaystyle N}$), e precompón ${\displaystyle \alpha }$ con ${\displaystyle \phi }$ para obter unha sección de regresión de ${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$. Ao aplicar o mapa do fibrado anterior (por puntos) a esta sección obtemos a regresión de ${\displaystyle \alpha }$ por ${\displaystyle \phi }$, que é a 1-forma ${\displaystyle \phi ^{*}\alpha }$ en ${\displaystyle M}$ definida por $${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X))}$$ para ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle T_{x}M}$.

Regresión de campos tensoriais (covariantes).

A construción da sección anterior xeneralízase inmediatamente para un fibrado de tensores de rango ${\displaystyle (0,s)}$, para calquera número natural ${\displaystyle s}$: a ${\displaystyle (0,s)}$ campo tensorial nunha variedade ${\displaystyle N}$ é unha sección do fibrado tensor en ${\displaystyle N}$ cuxa fibra en ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle N}$ é o espazo das ${\displaystyle s}$-formas multilineares

${\displaystyle F:T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .}$

Tomando ${\displaystyle \phi }$ igual ao diferencial dun mapa suave ${\displaystyle \phi }$ de ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle N}$, a regresión de formas multilineares pódese combinar coa regresión de seccións para producir un campo tensorial ${\displaystyle (0,s)}$ en ${\displaystyle M}$. Máis precisamente, se ${\displaystyle S}$ é un campo tensorial ${\displaystyle (0,s)}$ en ${\displaystyle N}$, daquela o pullback de ${\displaystyle S}$ mediante ${\displaystyle \phi }$ é o ${\displaystyle (0,s)}$-campo tensorial ${\displaystyle \phi ^{*}S}$ en ${\displaystyle M}$ definido por

${\displaystyle (\phi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{s}))}$

para ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle X_{j}}$ en ${\displaystyle T_{x}M}$.

Regresión de formas diferenciais

Un caso particular e importante da regresión de campos tensoriais covariantes é a regresión de formas diferenciais. Se ${\displaystyle \alpha }$ é unha ${\displaystyle k}$-forma diferencial, é dicir, unha sección do fibrado exterior ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}N)}$ de formas ${\displaystyle k}$ alternadas (en fibras) en ${\displaystyle TN}$, entón o retroceso de ${\displaystyle \alpha }$ é a ${\displaystyle k}$-forma diferencial en ${\displaystyle M}$ definida pola mesma fórmula que na sección anterior:

${\displaystyle (\phi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{k}))}$

para ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle X_{j}}$ en ${\displaystyle T_{x}M}$.

A regresión das formas diferenciais ten dúas propiedades que a fan moi útil.

1. É compatíbel co produto exterior no sentido de que para as formas diferenciais ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ en ${\displaystyle N}$,

${\displaystyle \phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\phi ^{*}\alpha \wedge \phi ^{*}\beta ,}$

1. É compatible coa derivada exterior ${\displaystyle d}$: se ${\displaystyle \alpha }$ é unha forma diferencial en ${\displaystyle N}$ entón

${\displaystyle \phi ^{*}(d\alpha )=d(\phi ^{*}\alpha ).}$

Regresión por difeomorfismos

Cando o mapa ${\displaystyle \phi }$ entre variedades é un difeomorfismo, é dicir, ten unha inversa suave, entón pódese definir a regresión para os campos vectoriais así como para 1-formas, e así, por extensión, para un campo tensor mixto arbitrario na variedade. O mapa linear

${\displaystyle \Phi =d\phi _{x}\in \operatorname {GL} \left(T_{x}M,T_{\phi (x)}N\right)}$

pódese inverter para dar

${\displaystyle \Phi ^{-1}=\left({d\phi _{x}}\right)^{-1}\in \operatorname {GL} \left(T_{\phi (x)}N,T_{x}M\right).}$

Un campo tensor mixto xeral transformarase usando ${\displaystyle \Phi }$ e ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ segundo o produto tensorial descomposición do fibrado tensor en copias de ${\displaystyle TN}$ e ${\displaystyle T^{*}N}$. Cando ${\displaystyle M=N}$, entón o pullback e o pushforward describen as propiedades de transformación dun tensor na variedade ${\displaystyle M}$. En termos tradicionais, a regresión describe as propiedades de transformación dos índices covariantes dun tensor; pola contra, a transformación dos índices contravariantes vén dada por un pulo.

Regresión por automorfismos

A construción da sección anterior ten unha interpretación teórica da representación cando ${\displaystyle \phi }$ é un difeomorfismo dunha variedade ${\displaystyle M}$ en si mesma. Nese caso, a derivada ${\displaystyle d\phi }$ é unha sección de ${\displaystyle \operatorname {GM} (TM,\phi ^{*}TM)}$. Isto induce unha acción de regresión en seccións de calquera fibrado asociado ao fibrado de marcas ${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$ de ${\displaystyle M}$ mediante unha representación do grupo linear xeral ${\displaystyle \operatorname {GM} (m)}$ (onde ${\displaystyle m=\dim M}$).

Regresión e derivada de Lie

Ver derivada de Lie. Aplicando as ideas anteriores ao grupo local difeomorfismos de 1-parámetro definido por un campo vectorial en M, e diferenciando con respecto ao parámetro, obtense unha noción de derivada de Lie en calquera feixe asociado.

Regresión de conexións (derivadas covariantes)

Se ${\displaystyle \nabla }$ é unha conexión (ou derivada covariante) nun fibrado vectorial ${\displaystyle E}$ sobre ${\displaystyle N}$ e ${\displaystyle \phi }$ é un mapa suave de ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle N}$, daquela hai unha conexión de regresión ${\displaystyle \phi ^{*}\nabla }$ en ${\displaystyle \phi ^{*}E}$ sobre ${\displaystyle M}$, determinado exclusivamente pola condición de que

${\displaystyle \left(\phi ^{*}\nabla \right)_{X}\left(\phi ^{*}s\right)=\phi ^{*}\left(\nabla _{d\phi (X)}s\right).}$

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

• Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.  See sections 1.5 and 1.6.
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.  See section 1.7 and 2.3.

Outros artigos

• Pulo (diferencial)
• Pulo de fibrado
• Regresión (teoría das categorías)