Inmersión (matemáticas)

A botella de Klein, inmersa nun espazo de dimensión 3.

En matemáticas, unha inmersión é unha función diferenciable entre variedades diferenciables cuxo pulo diferencial é inxectivo en tódalas partes.^[1] Explicitamente, f : M → N é unha inmersión se

${\displaystyle D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}$

é unha función inxectiva en cada punto p de M (onde T_pX denota o espazo tanxente dunha variedade X nun punto p en X ). De forma equivalente, f é unha inmersión se a súa derivada ten rango constante igual á dimensión de M : ^[2]

${\displaystyle \operatorname {rank} \,D_{p}f=\dim M.}$

A propia función f non ten por que ser inxectiva, só debe selo a súa derivada.

Un concepto relacionado é o de mergullo. Un mergullo suave é unha inmersión inxectiva f : M → N que tamén é unha mergullo topolóxico, polo que M é difeomorfo á súa imaxe en N. Unha inmersión é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto x ∈ M hai unha veciñanza, U ⊆ M, de x tal que f : U → N é un mergullo e, pola contra, un mergullo local é unha inmersión. ^[3] Para variedades de dimensións infinitas, ás veces considérase que esta é a definición dunha inmersión. ^[4]

Unha subvariedade inmersa inxectivamente que non é un mergullo.

Se M é compacta, unha inmersión inxectiva é un mergullo, mais se M non é compacto, as inmersións inxectivas non teñen por que ser mergullos; compare con bixeccións continuas versus homeomorfismos.

Homotopía regular

Unha homotopía regular entre dúas inmersións f e g dunha variedade M cara unha variedade N defínese como unha función diferenciable H : M × [0,1] → N tal que para todo t en [0, 1] a función H_t : M → N definida por H_t(x) = H(x, t) para todo x ∈ M é unha inmersión, con H₀ = f, H₁ = g. Unha homotopía regular é, polo tanto, unha homotopía mediante inmersións.

Clasificación

Hassler Whitney iniciou o estudo sistemático das inmersións e das homotopías regulares na década de 1940, demostrando que para 2m < n + 1 todo mapa f : M ^m → N ⁿ dunha variedade m-dimensional cara unha variedade n-dimensional é homotópico a unha inmersión, e de feito a un mergullo para 2m < n; estes son o teorema de inmersión de Whitney e o teorema do mergullo de Whitney.

Stephen Smale expresou as clases de homotopías regulares de inmersións ${\displaystyle f:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ como os grupos de homotopía dunha determinada variedade de Stiefel. A eversión da esfera foi unha consecuencia especialmente rechamante.

Morris Hirsch xeneralizou a expresión de Smale nunha descrición na teoría da homotopía das clases regulares de inmersións de homotopía de calquera variedade m-dimensional M ^m en calquera variedade n-dimensional N ⁿ.

A clasificación de inmersións de Hirsch-Smale foi xeneralizada por Mikhail Gromov.

Existencia

A banda de Möbius non inmersiona na codimensión 0 porque o seu fibrado tanxente non é trivial.

A obstrución principal á existencia dunha inmersión ${\displaystyle i:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ é o fibrado normal estable de M, tal e como detectan as súas clases características, especialmente as súas Clase de Stiefel-Whitney. É dicir, xa que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é paralelizable, a regresión do seu fibrado tanxente a M é trivial; xa que esta regresión é a suma directa do fibrado tanxente (definido intrínsecamente) sobre M, TM, que ten dimensión m, e do fibrado normal ν da inmersión i, que ten dimensión n − m, para que exista unha codimensión k inmersión de M, debe haber un fibrado vectorial de dimensión k, ξ ^k, substituíndo ao feibrado normal ν, tal que ${\displaystyle TM\oplus \zeta ^{k}}$ é trivial. Pola contra, dado un fibrado deste tipo, unha inmersión de M con este fibrado normal equivale a unha inmersión de codimensión 0 do espazo total deste fibrado, que é unha variedade aberta.

Codimensión 0

As inmersións de codimensión 0 son equivalentemente submersións de dimensión relativa 0, e pódense pensar mellor como submersións. Unha inmersión de codimensión 0 dunha variedade pechada é precisamente un mapa de cobertura, é dicir, un fibrado con fibra (discreta) de dimensión 0. Segundo o teorema de Ehresmann e o teorema de Phillips sobre as submersións, unha submersión propia de variedades é un fibrado, polo que as inmersións/submersións de codimensión/dimensión relativa 0 compórtanse como submersións.

Puntos múltiples

Un punto k-tupla (duplo, triplo, etc.) dunha inmersión f : M → N é un conxunto non ordenado {x₁, ..., x_k} de distintos puntos x_i ∈ M coa mesma imaxe f(x_i) ∈ N. Se M é unha variedade m-dimensional e N é unha variedade n-dimensional daquela para unha inmersión f : M → N en posición xeral o conxunto de puntos das k-tuplas é unha variedade (n − k(n − m))-dimensional. Todo mergullo é unha inmersión sen múltiples puntos (onde k > 1). Teña en conta, porén, que a inversa é falsa: hai inmersións inxectivas que non son mergullos.

A natureza dos puntos múltiples clasifica as inmersións; por exemplo, as inmersións dun círculo no plano clasifícanse ata a homotopía regular polo número de puntos duplos.

Exemplos e propiedades

O cuadrifolio, a rosa de 4 pétalos.

• Unha rosa matemática con k pétalos é unha inmersión do círculo no plano cun único punto k-tupla; k pode ser calquera número impar, mais se é par debe ser múltiplo de 4, polo que a cifra 8, con k = 2, non é unha rosa.
• A botella de Klein, e todas as demais superficies pechadas non orientables, poden ser inmersas en 3-espazos mais non mergulladas.
• Polo teorema de Whitney-Graustein, as clases de homotopía regular de inmersións do círculo no plano clasifícanse polo índice, que tamén é o número de puntos duplos contados alxebricamente (é dicir, con signos).
• A eversión da esfera (esfera revirada cara a fóra): o mergullo estándar ${\displaystyle f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ está relacionado con ${\displaystyle f_{1}=-f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ por unha homotopía regular de inmersións ${\displaystyle f_{t}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}.}$
• A superficie de Boy é unha inmersión do plano proxectivo real no 3-espazo; e tamén unha inmersión 2 a 1 da esfera.
• A superficie de Morin é unha inmersión da esfera; tanto ela como a superficie de Boy xorden como modelos intermedios na eversión da esfera.

• 
  Superficie de Boy
• 
  Superficie de Morin

Curvas planas inmersas

Esta curva ten curvatura total 6π, e índice de voltas 3, aínda que só ten un índice de curva 2 sobre p.

As curvas planas inmersas teñen un índice de voltas ben definido, que se pode definir como a curvatura total dividida por 2π. Este valor é invariante baixo a homotopía regular polo teorema de Whitney-Graustein; topoloxicamente, é o grao do mapa de Gauss, ou equivalentemente, o índice da curva da tanxente unitaria (que non desaparece) sobre a orixe. Alén diso, son un conxunto completo de invariantes: dúas curvas planas calquera co mesmo índice topolóxico son homotópicas regulares.

Notas

1. Esta definición está dada por Bishop & Crittenden 1964, Darling 1994, do Carmo 1994, Frankel 1997, Gallot, Hulin & Lafontaine 2004, Kobayashi & Nomizu 1963, Kosinski 2007, Szekeres 2004.
2. Esta definición está dada por Crampin & Pirani 1994, Spivak 1999.
3. Esta definición, baseada en difeomorfismos locais está dada por Bishop & Goldberg 1968, Lang 1999.
4. Este tipo de definición para infinitas dimensións está dada por Lang 1999.

Véxase tamén

Bibliografía

• Adachi, Masahisa (1993). Embeddings and immersions. Traducido por Kiki Hudson. ISBN 978-0-8218-4612-4. 
• Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (1985). Singularities of Differentiable Maps: Volume 1. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9. 
• Bishop, Richard Lawrence; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3. 
• Bishop, R. L.; Goldberg, S. I. (1968). Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6. 
• Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984). Curves and Singularities. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42999-4. 
• Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998a). "Surfaces in 3-space that do not lift to embeddings in 4-space". Knot theory (Warsaw, 1995). Banach Center Publ. 42. Polish Acad. Sci., Warsaw. pp. 29–47. MR 1634445. .
• Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998). Knotted Surfaces and Their Diagrams. Mathematical Surveys and Monographs 55. p. 258. ISBN 978-0-8218-0593-0. 
• Carter, Scott; Kamada, Seiichi; Saito, Masahico (2004). Surfaces in 4-space. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 142. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-21040-7. MR 2060067. doi:10.1007/978-3-662-10162-9. .
• Cohen, Ralph L. (1985). The immersion conjecture for differentiable manifolds. Annals of Mathematics. Second Series 122. pp. 237–328. JSTOR 1971304. MR 808220. doi:10.2307/1971304. .
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9. 
• Darling, Richard William Ramsay (1994). Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Bibcode:1994dfc..book.....D. ISBN 978-0-521-46800-8. .
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. ISBN 978-0-8176-3490-2. 
• Frankel, Theodore (1997). The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38753-1. 
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0. 
• Gromov, M. (1986). Partial differential relations. Springer. ISBN 3-540-12177-3. 
• Hirsch, Morris W. (1959). Immersions of manifolds. Transactions of the American Mathematical Society 93. pp. 242–276. JSTOR 1993453. MR 0119214. doi:10.2307/1993453. .
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). Foundations of Differential Geometry, Volume 1. New York: Wiley-Interscience. 
• Koschorke, Ulrich (1979). Multiple points of immersions, and the Kahn-Priddy theorem. Mathematische Zeitschrift 169. pp. 223–236. MR 554526. doi:10.1007/BF01214837. .
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. 
• Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0. 
• Massey, W. S. (1960). On the Stiefel-Whitney classes of a manifold. American Journal of Mathematics 82. pp. 92–102. JSTOR 2372878. MR 0111053. doi:10.2307/2372878. .
• Smale, Stephen (1958). A classification of immersions of the two-sphere. Transactions of the American Mathematical Society 90. pp. 281–290. JSTOR 1993205. MR 0104227. doi:10.2307/1993205. .
• Smale, Stephen (1959). The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Annals of Mathematics. Second Series 69. pp. 327–344. JSTOR 1970186. MR 0105117. doi:10.2307/1970186. .
• Spivak, Michael (1999) [1970]. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1). Publish or Perish. ISBN 0-914098-70-5. 
• Spring, David (2005). The golden age of immersion theory in topology: 1959–1973: A mathematical survey from a historical perspective. Bulletin of the American Mathematical Society. New Series 42. pp. 163–180. MR 2133309. doi:10.1090/S0273-0979-05-01048-7. .
• Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space and differential geometry. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82960-1. 
• Wall, C. T. C. (1999). Surgery on compact manifolds (PDF). Mathematical Surveys and Monographs 69 (Second ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0942-3. MR 1687388. doi:10.1090/surv/069. .

Outros artigos

• Mergullo (matemáticas).

Ligazóns externas

• Immersion no Manifold Atlas
• Immersion of a manifold na Encyclopedia of Mathematics