Estrutura matemática

En matemáticas, unha estrutura é un conxunto provisto dalgunhas características adicionais no conxunto (por exemplo, unha operación, relación, métrica ou topoloxía). Moitas veces, as características adicionais están anexadas ou relacionadas co conxunto, para proporcionarlle algún significado adicional.

Unha lista parcial de estruturas posíbeis son medidas, estruturas alxébricas (grupos, corpos, etc.), topoloxías, estruturas métricas (xeometrías), ordes, grafos, eventos, relacións de equivalencia, estruturas diferenciais e categorías.

Ás veces, un conxunto está dotado de máis dunha característica ao mesmo tempo, o que permite aos matemáticos estudar a interacción entre as diferentes estruturas de forma máis rica. Por exemplo, unha orde impón unha forma ríxida ou topoloxía ao conxunto, e se un conxunto ten tanto unha característica de topoloxía como unha característica de grupo, de xeito que estas dúas características están relacionadas dun xeito determinado, entón a estrutura convértese nun grupo topolóxico.^[1]

Os mapas entre conxuntos que conservan estruturas (é dicir, as estruturas do dominio están mapeadas con estruturas equivalentes no codominio) son de especial interese en moitos campos das matemáticas. Exemplos son os homomorfismos, que conservan estruturas alxébricas; homeomorfismos, que conservan estruturas topolóxicas; ^[2] e difeomorfismos, que conservan estruturas diferenciais.

Historia

En 1939, o grupo francés co pseudónimo de Nicolas Bourbaki viu as estruturas como a raíz das matemáticas. Mencionáronos por primeira vez no seu "Fascículo" de Teoría de Conxuntos e expandírono ao Capítulo IV da edición de 1957.^[3] Identificaron tres estruturas nai : alxébrica, topolóxica e de orde.^[3][4]

Exemplo: os números reais

O conxunto de números reais ten varias estruturas estándar:

• Unha orde: cada número é menor ou maior que calquera outro número.
• Estrutura alxébrica: hai operacións de suma e multiplicación, a primeira delas convérteo nun grupo e as dúas operacións en conxunto o convérteo nun corpo.
• Unha medida: os intervalos da recta real teñen unha lonxitude específica, que se pode estender á medida de Lebesgue en moitos dos seus subconxuntos.
• Unha métrica: existe unha noción de distancia entre puntos.
• Unha xeometría: está equipada cunha métrica e é plana.
• Unha topoloxía: hai unha noción de conxuntos abertos.

Hai interfaces entre estas estruturas:

• A súa orde e, independentemente, a súa estrutura métrica inducen a súa topoloxía.
• A súa orde e estrutura alxébrica convérteno nun corpo ordenado.
• A súa estrutura alxébrica e topoloxía convérteno nun grupo de Lie, un tipo de grupo topolóxico.

Notas

1. Saunders, Mac Lane (1996). "Structure in Mathematics" (PDF). Philosoph1A Mathemat1Ca 4 (3): 176. 
2. Christiansen, Jacob Stordal (2015). "Mathematical structures" (PDF). maths.lth.se. Consultado o 2019-12-09. 
3. Corry, Leo (September 1992). "Nicolas Bourbaki and the concept of mathematical structure". Synthese 92 (3): 315–348. JSTOR 20117057. doi:10.1007/bf00414286. 
4. Wells, Richard B. (2010). Biological signal processing and computational neuroscience (PDF). pp. 296–335. Consultado o 7 April 2016. 

Véxase tamén

Bibliografía

• Hegedus, Stephen John; Moreno-Armella, Luis (2011). "The emergence of mathematical structures". Educational Studies in Mathematics 77 (2): 369–388. doi:10.1007/s10649-010-9297-7. 

Outros artigos

• Isomorfismo.

Ligazóns externas

• Mathematical structures in computer science (journal)