Elemento maior e menor

Diagrama de Hasse do conxunto ${\displaystyle P}$ de divisores de 60, parcialmente ordenados pola relación "${\displaystyle x}$ divide ${\displaystyle y}$". O subconxunto vermello ${\displaystyle S=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}}$ ten un elemento maior, é dicir 30, e un elemento menor, a saber, 1. Estes elementos tamén son elemento maximal e minimal respectivamente, do subconxunto vermello.

En matemáticas, especialmente na teoría da orde, o elemento maior dun subconxunto ${\displaystyle S}$ dun conxunto parcialmente ordenado (poset) é un elemento de ${\displaystyle S}$ que é maior que calquera outro elemento de ${\displaystyle S}$. O termo elemento menor defínese de xeito dual, é dicir, é un elemento de ${\displaystyle S}$ que é máis pequeno que calquera outro elemento de ${\displaystyle S.}$

Definicións

Ao mudar de lado a relación de ${\displaystyle s}$ na definición anterior, obtemos a definición dun elemento menor de ${\displaystyle S}$.

${\displaystyle s\leq g}$ para tódolos ${\displaystyle s\in S.}$

Sexa ${\displaystyle (P,\leq )}$ un conxunto preordenado e sexa ${\displaystyle S\subseteq P.}$ Un elemento maiorante de ${\displaystyle S{\text{ en }}(P,\leq )}$ é un elemento ${\displaystyle u}$ tal que ${\displaystyle u\in P}$ e ${\displaystyle s\leq u}$ para todo ${\displaystyle s\in S.}$ Importante, un elemento maiorante de ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle P}$ non se require que sexa un elemento de ${\displaystyle S.}$

Se ${\displaystyle (P,\leq )}$ é tamén un conxunto parcialmente ordenado ${\displaystyle S}$ pode ter como moito un elemento maior e pode ter como moito un elemento menor.

Relación cos elemento maiorantes e minorantes

O elemento maior está intimamente relacionado cos elementos maiorantes.

Sexa ${\displaystyle (P,\leq )}$ un conxunto preordenado e sexa ${\displaystyle S\subseteq P.}$ Un elemento ${\displaystyle g\in P}$ dise que é

un elemento maior de ${\displaystyle S}$ se ${\displaystyle g\in S}$ tamén satisfai:

Se ${\displaystyle g\in P}$ daquela ${\displaystyle g}$ é un elemento maior de ${\displaystyle S}$ se e só se ${\displaystyle g}$ é un elemento maiorante de ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle (P,\leq )}$ e ${\displaystyle g\in S.}$ En particular, calquera elemento maior de ${\displaystyle S}$ é tamén un elemento maiorante de ${\displaystyle S}$ (en ${\displaystyle P}$) mais un elemento maiorante de ${\displaystyle S}$ en ${\displaystyle P}$ é un elemento de ${\displaystyle S}$ se e só se pertence a ${\displaystyle S.}$

Aínda que un conxunto teña algúns elementos maiorantes, pode non ter un elemento maior, como mostra o exemplo dos números reais negativos. Este exemplo tamén demostra que a existencia dun elemento que sexa o menor dos elementos maiorantes (o número 0 neste caso) tampouco non implica a existencia dun elemento maior (neste caso porque o 0 non pertence ao conxunto dos reais negativos).

Contraste co elemento maximal e cos máximos locais/absolutos

Na orde de divisibilidade do debuxo superior, o subconxunto vermello ${\displaystyle S=\{1,2,3,4\}}$ ten dous elementos máximos, a saber, 3 e 4, ningún dos cales é maior. Ten un elemento minimal, o 1, que tamén é o seu elemento menor.

Non se debe confundir un elemento maior dun subconxunto dun conxunto preordenado cun elemento máximal do conxunto, que son elementos que non son estritamente máis pequenos que calquera outro elemento do conxunto.

Sexa ${\displaystyle (P,\leq )}$ un conxunto preordenado e sexa ${\displaystyle S\subseteq P.}$ Un elemento ${\displaystyle m\in S}$ dise que é un

elemento maximal de S se se cumpre a seguinte condición:

sempre que ${\displaystyle s\in S}$ satisfai ${\displaystyle m\leq s,}$ entón necesariamente ${\displaystyle s\leq m.}$

Se ${\displaystyle (P,\leq )}$ é un conxunto parcialmente ordenado ${\displaystyle m\in S}$ é un elemento máximal de ${\displaystyle S}$ se e só se non existe ningún ${\displaystyle s\in S}$ tal que ${\displaystyle m\leq s}$ e ${\displaystyle s\neq m.}$ Un

elemento maximal de (P, ≤) defínese como un elemento maximal do subconxunto ${\displaystyle S:=P.}$

Un conxunto pode ter varios elementos maximais sen ter un elemento maior. Do mesmo xeito que os elementos maiorantes e os elementos maximais, os elementos maiores poden non existir.

Nun conxunto totalmente ordenado coinciden o elemento maximal e o elemento maior; e tamén se di máximo; no caso dos valores de función tamén se denomina máximo absoluto, para evitar confusións cun máximo local. ^[1] Os termos duais para elemento minimal son mínimo e mínimo absoluto. Xuntos chámanse extremos absolutos.

Papel da incomparabilidade na distinción dos elementos maiores e máximais.

Unha das diferenzas máis importantes entre un elemento maior ${\displaystyle g}$ e un elemento maximal ${\displaystyle m}$ dun conxunto preordenado ${\displaystyle (P,\leq )}$ ten que ver cos elementos cos que se pode comparar. Dous elementos ${\displaystyle x,y\in P}$ dise que son comparables se ${\displaystyle x\leq y}$ ou ${\displaystyle y\leq x}$; chámanse incomparables se non son comparables. Como as preordes son reflexivas (o que significa que ${\displaystyle x\leq x}$ é certo para todos os elementos ${\displaystyle x}$), cada elemento ${\displaystyle x}$ sempre é comparable consigo mesma. En consecuencia, os únicos pares de elementos que posiblemente poderían ser incomparables son pares distintos. En xeral, porén, os conxuntos preordenados (e mesmo os conxuntos parcialmente ordenados dirixidos) poden ter elementos incomparables.

Por definición, un elemento ${\displaystyle g\in P}$ é un elemento maior de ${\displaystyle (P,\leq )}$ se ${\displaystyle s\leq g,}$ para cada ${\displaystyle s\in P}$; polo que pola súa propia definición, un elemento maior de ${\displaystyle (P,\leq )}$ debe, en particular, ser comparable a todos os elementos en ${\displaystyle P.}$ Isto non se require para os elementos maximais. Os elementos maximais de ${\displaystyle (P,\leq )}$ non están obrigados a ser comparables con todos os elementos de ${\displaystyle P.}$ Isto débese a que, a diferenza da definición de "elemento maior", a definición de "elemento maximal" inclúe unha condición "se" importante. A condición da definición para que ${\displaystyle m\in P}$ sexa un elemento maximal de ${\displaystyle (P,\leq )}$ pódese reformular como:

Para todo ${\displaystyle s\in P,}$ SE ${\displaystyle m\leq s}$ (así ignoramos os elementos que son incomparables a ${\displaystyle m}$) entón ${\displaystyle s\leq m.}$

Exemplo onde todos os elementos son maximal mais ningún é maior

Supoñamos que ${\displaystyle S}$ é un conxunto que conténpolomenos dous (distintos) elementos e definir unha orde parcial ${\displaystyle \,\leq \,}$ en ${\displaystyle S}$ declarando que ${\displaystyle i\leq j}$ se e só se ${\displaystyle i=j.}$ Se ${\displaystyle i\neq j}$ pertence a ${\displaystyle S}$ entón nin ${\displaystyle i\leq j}$ nin ${\displaystyle j\leq i}$ cúmprese, o que mostra que todos os pares de elementos distintos (é dicir, non iguais) en ${\displaystyle S}$ son incomparables. En consecuencia, ${\displaystyle (S,\leq )}$ non pode ter un elemento maior (porque un elemento maior de ${\displaystyle S}$ en particular, tería que ser comparable a todo elemento de ${\displaystyle S}$ mais ${\displaystyle S}$ non ten tal elemento). Aínda así, todo elemento ${\displaystyle m\in S}$ é un elemento maximal de ${\displaystyle (S,\leq )}$ porque hai exactamente un elemento en ${\displaystyle S}$ que cumpre ambas as características, é comparable a ${\displaystyle m}$ e é ${\displaystyle \geq m,}$ sendo ese elemento o propio ${\displaystyle m}$ (que, por suposto, é ${\displaystyle \leq m}$).^{[note 1]}

En contraste, se un conxunto preordenado ${\displaystyle (P,\leq )}$ ten un elemento maior ${\displaystyle g}$ entón ${\displaystyle g}$ será necesariamente un elemento máximo de ${\displaystyle (P,\leq )}$ e, ademais, como consecuencia de que o maior elemento ${\displaystyle g}$ é comparable a todo elemento de ${\displaystyle P,}$ se ${\displaystyle (P,\leq )}$ tamén está parcialmente ordenado entón é posible concluír que ${\displaystyle g}$ é o único elemento maximal de ${\displaystyle (P,\leq ).}$ Con todo, a conclusión de unicidade xa non está garantida se o conxunto preordenado ${\displaystyle (P,\leq )}$ tampouco non é parcialmente ordenado. Por exemplo, supoñamos que ${\displaystyle R}$ é un conxunto non baleiro e definimos unha preorden ${\displaystyle \,\leq \,}$ en ${\displaystyle R}$ declarando que ${\displaystyle i\leq j}$ sempre se cumpre para todos os ${\displaystyle i,j\in R.}$ O conxunto dirixido preordenado ${\displaystyle (R,\leq )}$ está parcialmente ordenado se e só se ${\displaystyle R}$ ten exactamente un elemento. Todos os pares de elementos de ${\displaystyle R}$ son comparables e todo elemento de ${\displaystyle R}$ é un elemento maior (e, polo tanto, tamén un elemento maximal) de ${\displaystyle (R,\leq ).}$ En particular, se ${\displaystyle R}$ ten polo menos dous elementos daquela ${\displaystyle (R,\leq )}$ ten varios elementos maiores distintos.

Propiedades

Condicións suficientes

• Unha cadea finita sempre ten un elemento maior e un elemento menor.

Superior (top) e inferior (bottom) (nomenclatura a maiores en inglés)

Os elementos menor e maior de todo conxunto parcialmente ordenado xoga un papel especial e tamén se chama inferior (⊥) e superior (⊤), ou cero (0) e un (1), respectivamente. Se ambos os dous existen, o poset chámase un poset limitado. A notación de 0 e 1 úsase preferiblemente cando o conxunto é unha retícula complementada. A existencia de elementos menores e maiores é unha propiedade especial de completitude dunha orde parcial.

Máis información introdutoria pódese ver na Galipedia na teoría da orde.

Exemplos

Diagrama de Hasse do segundo exemplo.

• O subconxunto de enteiros non ten elemento maiorante no conxunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de números reais.
• Sexa a relación ${\displaystyle \,\leq \,}$ en ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ dada por ${\displaystyle a\leq c,}$ ${\displaystyle a\leq d,}$ ${\displaystyle b\leq c,}$ ${\displaystyle b\leq d.}$ O conxunto ${\displaystyle \{a,b\}}$ ten elementos maiorantes ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle d,}$ mais non ten un un elemento minorante que sexa menor, nin ten elemento maior (ver imaxe).
• Nos números racionais, o conxunto de números co seu cadrado menor que 2 ten elemento maiorante mais ningún elemento maior e ningún elemento menor dos elementos maiorantes.
• En ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ o conxunto de números menores que 1 ten un elemento maiorante mínimo, a saber 1, mais ningún elemento maior.
• En ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ o conxunto de números menores ou iguais a 1 ten un elemento maior, a saber 1, que tamén é o seu elemento maiorante máis baixo.
• En ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ coa orde do produto, o conxunto de pares ${\displaystyle (x,y)}$ con ${\displaystyle 0<x<1}$ non ten elemento maiorante.
• En ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ coa orde lexicográfica, este conxunto ten elementos maiorantes, por exemplo, ${\displaystyle (1,0).}$ Non ten un elemento maiorante que sexa o menor.

Notas

1. A noción de "localidade" demanda que o domínio da función sexa, polo menos, un espazo topolóxico.

1. Naturalmente, neste exemplo en particular, só existe un elemento en ${\displaystyle S}$ que é comparable a ${\displaystyle m,}$ polo que é necesariamente ${\displaystyle m}$ propio, por tanto a segunda condición "e ${\displaystyle \geq m,}$" é redundante.

Véxase tamén

Bibliografía

• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1. 

outros artigos

• Ínfimo e supremo
• Supremo esencial e ínfimo esencial
• Elemento maximal e minimal
• Límite superior e límite inferior
• Elemento maiorante e minorante