En 2007, il finit deuxième du mémorial Rubinstein en Pologne. L'année suivante il fut 1er-6e de la Coupe Politiken 2008 au Danemark (victoire de Tiviakov au départage). En 2009, il finit 1er-3e de la SPICE Cup au Texas, remportant le tournoi après des départage en blitz contre Rauf Mamedov et Dmitri Andreïkine. En 2010, il fut 1er-4e de l'open de Rekjavik[2]. En 2011, il remporta l'open de Reykjavik au départage[3]. En 2013, il finit deuxième du tournoi d'échecs du lac Sevan.
Kouzoubov remporta le championnat national ukrainien et l'open d'Abou Dabi en 2014.
En 2017, Kouzoubov remporta la médaille de bronze par équipe avec l'Ukraine lors du championnat d'Europe d'échecs des nations (il jouait au quatrième échiquier et marqua 4,5 points sur 7)[4].