En 1984, il finit troisième du championnat d'URSS 1984.
En 1986, il termina premier ex æquo du deuxième open de Cappelle-la-Grande et obtint un classement Elo de 2570 et fut classé 24e joueur mondial en juillet 1986. Il atteint un classement Elo de 2600 en juillet 1988[1].
Eingorn participa au tournoi interzonal de Zagreb 1987 où il termina neuvième et fut éliminé de la course au championnat du monde d'échecs 1990.
Les années suivantes, il finit 2e-7e du championnat d'URSS 1987, puis 2e-5e du championnat d'URSS 1989. Il remporta les tournois de Berlin 1990 et 1991 et de Metz 1991.
En 1989, Eingorn fit partie de l’équipe d'URSS qui remporta le championnat d'Europe d'échecs des nations à Haïfa. Après la dissolution de l'Union soviétique en 1991, Eingorn fut membre de l'équipe d'Ukraine aux olympiades de 1992, 2000 et 2002. Il termina deuxième du championnat d'Europe des nations en 1992 avec l'Ukraine.
Il remporta avec l'Ukraine le championnat du monde par équipe en 2001.
Il participa au championnat du monde FIDE 2001-2002 et fut éliminé au premier tour par Krishnan Sasikiran.
↑Les annotations de cette partie sont tirées de l'ouvrage Garry Kasparov on Modern Chess Part One : Revolution in the 70s, Éditions Everyman Chess, 2007, p. 192-193.