Soit A un anneau, et B = A[X1, …, Xn] l'algèbre des polynômes en n indéterminées à coefficients dans A. On dénote par Sn le groupe des permutations de 1, 2, …, n. Si P(X1, …, Xn) est un élément de B, et σ un élément de Sn, on note Pσ le polynôme P(Xσ(1), …, Xσ(n)). Un polynôme de B est dit symétrique s'il est invariant sous l'action de Sn, c'est-à-dire s'il reste identique à lui-même lorsqu'on permute entre elles de n'importe quelle façon les variables qui le composent.
Cette action de Sn sur B respecte la structure de A-algèbre de B (lemme 2, section « Démonstrations du théorème »), si bien que les polynômes symétriques forment une sous-algèbre. En d'autres termes, la somme et le produit de polynômes symétriques, et le produit d'un polynôme symétrique par un élément de A, sont symétriques.
De même, si K est un corps, une fraction rationnelle à n variables est dite symétrique si elle est invariante sous l'action du groupe Sn (celle-ci étant définie comme pour les polynômes), et les fractions rationnelles symétriques forment un sous-corps du corps des fractions rationnelles en n indéterminées sur K.
On ne s'intéresse qu'aux sn,k pour 1 ≤ k ≤ n, car sn,k est nul si k > n, et est constant (égal à 1) si k = 0.
Le théorème fondamental des fonctions symétriques
Théorème : Soit A un anneau commutatif. Si P est un polynôme symétrique en n indéterminées à coefficients dans A, alors il existe un unique polynôme T, à coefficients dans A, tel que
P(X1, …, Xn) = T(sn,1, …, sn,n),
les sn,i étant les polynômes symétriques élémentaires en les indéterminées X1, …, Xn.
Le corollaire suivant justifie l'appellation usuelle du théorème :
Si f est une fraction rationnelle symétrique en n indéterminées sur un corps K, alors il existe une unique fraction rationnelle Φ sur K telle que
L'unicité de la représentation est équivalente au fait qu'il n'existe pas de polynôme T non nul vérifiant T(sn,1, …, sn,n) = 0. Si l'anneau A est un corps, cela signifie, dans le langage de la théorie des corps, que les polynômes symétriques élémentaires sont algébriquement indépendants. Ils forment donc une base de transcendance des fractions rationnelles symétriques en n indéterminées sur K.
Démonstrations du théorème
Il existe beaucoup de démonstrations du théorème des fonctions symétriques[1]. Les plus courtes se servent de l'ordre lexicographique sur les monômesunitaires, puis d'une astuce pour abaisser le « degré lexicographique » d'un polynôme symétrique, ce qui fournit l'étape nécessaire à une démonstration par induction sur ce bon ordre. L'idée de cet algorithme remonte à Edward Waring en 1700[2],[3],[4],[5]. La démonstration a été formalisée par Gauss en 1815[6] et « c'est la même qu'on trouve dans les manuels modernes[3] »[7].
L'ensemble des multi-degrés (α1, …, αn) des monômes unitaires X1α1…Xnαn est égal à Nn, qu'on peut ordonner par l'ordre lexicographique : par définition,
X1α1…Xnαn > X1β1…Xnβn
si, arrivé au premier i tel que αi ≠ βi, on a αi > βi.
Existence
Soient P un polynôme symétrique non nul et X1α1…Xnαn son monôme unitaire maximum. Supposons inductivement que tout polynôme symétrique non nul de monôme unitaire maximum strictement inférieur à celui de P soit exprimable en fonction polynomiale des polynômes symétriques élémentaires, et montrons qu'il en est de même pour P.
Puisque P est symétrique, il contient, affectés d'un même coefficient non nul a ∈ A, tous les monômes obtenus en permutant les exposants dans le monôme X1α1…Xnαn. Par maximalité de ce dernier, on a donc α1 ≥ α2 ≥ … ≥ αn.
Posons ti = αi – αi+1 pour 1 ≤ i < n, et tn = αn. Les ti sont donc tous positifs ou nuls. Considérons le polynôme symétrique
Q = a sn,1t1sn,2t2 … sn,ntn.
Son monôme unitaire maximum est le même que celui de P :
donc le polynôme symétrique P – Q est nul ou a un monôme unitaire maximum strictement inférieur à celui de P. Par hypothèse d'induction, il existe donc un polynôme W tel que P – Q = W(sn,1, …, sn,n). Par suite,
P = P – Q + Q = T(sn,1, …, sn,n), où T(S1, …, Sn) = W(S1, …, Sn) + a S1t1S2t2 … Sntn.
Unicité
Soit T(S1, …, Sn) un polynôme non nul. Considérons dans T le monôme a S1t1S2t2 … Sntn pour lequel le monôme unitaire X1t1+t2+…+tnX2t2+…+tn … Xntn est maximum pour l'ordre lexicographique ci-dessus. Alors, ce monôme unitaire est le plus grand qui apparaît (affecté du coefficient a ≠ 0) dans le polynôme P = T(sn,1, …, sn,n), donc ce polynôme P est non nul.
Cette preuve montre de plus que le degré total de T est au plus égal au maximum des degrés de P en chaque variable.
La démonstration suivante[8], à peine plus longue[9], peut sembler plus naturelle, et fournit des instruments théoriques qui préludent à la théorie de Galois.
Lemme 2 — Soit σ une permutation de Sn.
Alors l'application ( )σ : B → B, P ↦ Pσ est un automorphisme de B.
Puisque A est un sous anneau de B, c'est une simple application du lemme 1, avec (a1, …, an) = (Xσ(1), …, Xσ(n)). L'application inverse de ( )σ est évidemment ( )σ−1.
Lemme 3 — Si i est différent de j1, j2, …, jk et si Xi divise le produit d'un polynôme P de B par le monôme Xj1…Xjk, alors Xi divise P.
C'est encore une simple application du lemme 1, avec (a1, …, an) = (X1, …, Xi–1, 0, Xi+1, …, Xn).
Pour faire jouer la récurrence, on a besoin d'affiner l'énoncé du théorème, en précisant que dans celui-ci, le polynôme T(S1, …, Sn) tel que P(X1, …, Xn) = T(sn,1, …, sn,n) est de « poids » inférieur ou égal au degré total de P, le « poids » d'un polynôme étant défini à partir de celui des monômes de la même façon que le degré total, mais en pondérant par les indices des indéterminées : le poids du monôme S1t1…Sntn est par définition t1 + 2t2 + … + ntn.
Le théorème (dans sa version précisée) est évident dans le cas des polynômes en 0 indéterminée et dans celui des polynômes en n indéterminées de degré total inférieur ou égal à 0 (dans les deux cas, ce sont les polynômes constants). Supposons donc le théorème vérifié inductivement pour tout polynôme en n – 1 indéterminées et pour tout polynôme en n indéterminées de degré total strictement inférieur à m (n, m ∈ N*), et considérons dans B un polynôme symétrique P, de degré total égal à m.
Soit A' = A[X1, …, Xn–1], et φ : B → A' le morphisme de substitution (cf. lemme 1) qui fixe X1, …, Xn–1 et envoie Xn sur 0.
Puisque φ(P) est symétrique et de degré total inférieur ou égal à m, il existe (par hypothèse de récurrence) un polynôme V(S1, …, Sn–1) de poids inférieur ou égal à m tel que (dans A' )
φ(P) = V(sn–1,1, …, sn–1,n–1).
Posons (dans B)
P ' = V(sn,1, …, sn,n–1).
Alors, φ(P ' ) = φ(P) — puisque le morphisme φ envoie sn,i sur sn–1,i pour tout i < n — et le degré total de P ' est inférieur ou égal au poids de V donc à m.
Le polynôme P ' est symétrique et vérifie φ(P – P ' ) = 0, c.-à-d. que le polynôme P – P ' est symétrique et multiple de Xn, donc multiple de Xi pour tout i, et par conséquent multiple de X1…Xn = sn,n (lemme 3).
On peut donc écrire
P – P ' = Q sn,n,
où Q est un élément de B, symétrique et de degré total inférieur ou égal à m – n < m.
L'hypothèse de récurrence implique alors qu'il existe un unique polynôme W tel que Q = W(sn,1, …, sn,n), et que ce polynôme W est de poids inférieur ou égal à m – n.
Ainsi,
P = P ' + Q sn,n = T(sn,1, …, sn,n), où T = V + W Xn, de poids inférieur ou égal à m,
ce qui montre l'existence de la représentation souhaitée.
Si T ' est un autre polynôme tel que T ' (sn,1, …, sn,n) = P, alors (T ' – V) / Xn = W, puisque la représentation par W de Q = (P – P ' ) / sn,n est unique (hypothèse de récurrence).
Donc T ' = V + WXn = T, et l'unicité de la représentation est assurée.
On peut aussi utiliser la théorie de Galois pour démontrer directement la partie « existence » du corollaire du théorème, c'est-à-dire montrer que toute fraction rationnelle symétrique sur un corps K est une fonction rationnelle des polynômes symétriques élémentaires.
Démonstration de la partie « existence » du corollaire par la théorie de Galois
Considérons la suite d'extensionsC ⊂ M ⊂ L, où L = K(X1, …, Xn), M = LSn (le sous-corps des fractions rationnelles symétriques) et C = K(sn,1, …, sn,n). Il s'agit de démontrer que l'inclusion de C dans M est en fait une égalité.
Le sous-groupeGal(L/M) est égal au groupe Gal(L/C) tout entier, car tout C-automorphisme de L fixe les coefficients de P, donc permute ses racines X1, …, Xn, donc est égal à un ( )σ (lemme 2 étendu aux fractions), qui fixe tous les éléments de M par définition.
On en déduit alors la partie « existence » du théorème (tout polynôme symétrique sur A est une fonction polynomiale des polynômes symétriques élémentaires) pour A = Z puis, par généricité, pour tout anneau commutatif A.
La partie « existence » du théorème se déduit de celle du corollaire
Il s'agit de démontrer que l'anneau A[X1, …, Xn]Sn, qui est entier sur le sous-anneau A[sn,1, …, sn,n], lui est en fait égal.
Supposons d'abord A = Z. On sait alors (partie « existence » du corollaire) que ces deux anneaux ont même corps des fractions, puisque Q(X1, …, Xn)Sn = Q(sn,1, …, sn,n). On conclut en utilisant que le sous-anneau Z[sn,1, …, sn,n] est intégralement clos (car — en admettant la partie « unicité » du théorème — c'est un anneau de polynômes à coefficients dans Z).
Soit maintenant A un anneau commutatif quelconque. Tout élément P de A[X1, …, Xn]Sn est combinaison linéaire (à coefficients dans A) de polynômes symétriques à coefficients égaux à 1 (sommes de tous les monômes d'une orbite sous Sn). Ces derniers étant eux-mêmes (d'après le premier point) combinaisons linéaires des sn,i, P l'est aussi.
Procédures de calcul
Avant d'appliquer toute procédure de calcul, puis éventuellement à chaque étape, il est parfois préférable, pour alléger les calculs, de séparer le polynôme symétrique P en somme de polynômes égaux aux orbites des monômes a X1α1 … Xnαn apparaissant dans P sous l'action de Sn.
L'expression de P en termes des polynômes symétriques élémentaires sera alors la somme des expressions des polynômes orbites respectifs.
Il existe ensuite différentes méthodes pour le calcul effectif de l'expression du polynôme T apparaissant dans le théorème fondamental ci-dessus. On peut par exemple baser une procédure récursive de calcul de T sur l'une des deux démonstrations précédentes :
utilisation de l'ordre lexicographique :
on repère dans P le monôme a X1α1 … Xnαn pour lequel (α1, …, αn) est maximum,
on pose ti = αi – αi+1 pour 1 ≤ i < n, et tn = αn,
on forme le polynôme symétrique Q = a sn,1t1 … sn,ntn,
l'expression de P – Q par les polynômes symétriques élémentaires est donnée par la procédure récursive : P – Q = W(sn,1, …, sn,n),
l'expression de P par les polynômes symétriques élémentaires s'ensuit : T = W + a S1t1 … Sntn ;
double récurrence, sur le nombre de variables et le degré :
on forme le polynôme symétrique φ(P) à partir du polynôme P en annihilant les monômes multiples de Xn dans P,
le polynôme V, qui exprime φ(P) au moyen des polynômes symétriques élémentaires sn–1,i est donné par la procédure récursive :φ(P) = V(sn–1,1, …, sn–1,n–1),
le polynôme P – V(sn,1, …, sn,n–1) est divisible par sn,n, et son quotient Q par sn,n est symétrique,
l'expression de Q par les polynômes symétriques élémentaires est donnée par la procédure récursive : Q = W(sn,1, …, sn,n),
l'expression de P par les polynômes symétriques élémentaires s'ensuit : T = V + W Sn.
Exemple
On se propose d'illustrer les deux procédures précédentes en déterminant la représentation en termes des polynômes symétriques élémentaires de la troisième somme de Newton en trois variables, constituée d'une seule orbite :
P = p3(X1, X2, X3) = X13 + X23 + X33.
Utilisation de l'ordre lexicographique :
(α1, α2 , α3) = (3, 0, 0) donc (t1, t2 , t3) = (3, 0, 0) et Q = s3,13, que l'on retranche de P :
(α'1, α'2 , α'3) = (2, 1, 0) donc (t'1, t'2 , t'3) = (1, 1, 0) et Q0 = –3s3,1s3,2, que l'on retranche de P0 :
P0 – Q0 = 3X1X2X3, dont la représentation est immédiate : P0 – Q0 = 3s3,3 ,
donc
P0 = 3s3,3 – 3s3,1s3,2 ;
donc
P = 3s3,3 – 3s3,1s3,2 + s3,13.
Double récurrence, sur le nombre de variables et le degré :
On élimine les monômes contenant la variable X3 dans P et l'on détermine la représentation du polynôme
P1 := X13 + X23 :
on élimine les monômes multiples de la variable X2 dans P1, et l'on détermine la représentation du polynôme P2 = X13. Cette représentation est immédiate : P2 = s1,13 ;
on substitue s2,1 à la place de s1,1 dans P2, ce qui donne s2,13 = (X1 + X2)3, et l'on retranche de P1 ; le résultat doit être un multiple de s2,2 :
Usage et applications du théorème fondamental des fonctions symétriques
Le but de cette section est d'illustrer, par un certain nombre d'applications et d'exemples, l'usage du théorème fondamental des fonctions symétriques.
Il se trouve qu'il est principalement utilisé par l'intermédiaire d'un corollaire, qu'on invoque d'ailleurs souvent par le même nom.
Ce corollaire ne fait que dire qu'une expression algébrique polynomiale à coefficients dans un anneau commutatif intègreA, mettant en jeu les racines d'un certain nombre de polynômes unitaires à coefficients dans A, et symétrique en chaque groupe de racines, appartient en fait à A. Il s'applique en particulier si A est un corps K (dans ce cas, tous les éléments algébriques sur K sont entiers sur K).
On rappelle que pour tout anneau commutatif A, un élément d'une A-algèbre est entier sur A s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A. Un tel élément α est racine d'une infinité de polynômes unitaires ; nous supposerons donc un tel polynôme Pα fixé pour chaque élément entier α.
Notons que si A est intègre, les coefficients du polynôme Pα sont (au signe près) les fonctions symétriques élémentaires des racines de Pα, dans une clôture algébrique du corps Fr(A) des fractions de A. En effet, Pα étant unitaire, on a
Pα = (X – α)(X – α' )(X – α" )…
où α, α', α" sont toutes les racines de Pα, et cette expression est l'image de (X – X1)(X – X2)(X – X3)… par le morphisme de substitution (lemme 2 de la section précédente) qui envoie X1, X2, … sur α, α', ….
Corollaire — Soient A un anneau commutatif, B une A-algèbre commutative, et αi(j) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ ni) des éléments de B (non nécessairement distincts) tels que pour tout i, le polynôme Pi := (X – αi(1))…(X – αi(ni)) soit à coefficients dans A.
à coefficients dans A, et si P est symétrique intérieurement en chacun des groupes de variables Xi, X'i, …, Xi(ni), alors l'élément
E = P (α1, α'1, …, α2, α'2, …, αm, α'm, …)
appartient à A.
Démonstration
On raisonne par récurrence sur le nombre m de groupes de variables. Si m = 0, l'assertion est triviale. Supposons m > 0 et l'assertion vraie pour m – 1 variables et considérons le polynôme
Il est symétrique et (par hypothèse de récurrence) à coefficients dans A. D'après le théorème des fonctions symétriques, il est donc égal à une expression polynomiale T(s1, s2, … ) à coefficients dans A des polynômes symétriques élémentaires si(X, X', … ). Comme les si(αm(1), αm(2), … ) appartiennent à A (car ce sont, au signe près, les coefficients du polynôme Pm), on en déduit que E = Q(αm, αm', … ) appartient à A.
Note
L'anneau A peut être lui-même un anneau de polynômes en un certain nombre de variables « statiques » Yk, par opposition aux « variables actives » Xi(j).
Applications historiques du théorème fondamental des fonctions symétriques
Jusqu'à l'avènement de la théorie de Galois, le théorème des fonctions symétriques était le seul outil qui permettait de pénétrer dans la structure des équations algébriques. Il fut utilisé par la plupart des grands algébristes tel que Newton, Lagrange, Abel, Kummer ou Galois et même plus tard, il n'est pas jusqu'à Hilbert qui n'en ait usé[10].
Le corollaire cité dans la section précédente autorise en effet une attitude active face aux problèmes ; plutôt que d'attendre que la solution s'impose d'elle même, on peut former a priori des expressions symétriques et en déduire les propriétés désirées.
Toute l'œuvre algébrique d'Abel est remplie de ces expressions « symétrisées », et c'est aussi par ce moyen que Galois a établi sa théorie, à travers le théorème de l'élément primitif[11]. De nos jours, la théorie de Galois, établie de façon indépendante, a très largement supplanté l'usage du théorème des fonctions symétriques. Néanmoins, il possède quelques avantages sur la théorie de Galois qui en font encore un instrument utile : il est d'abord insensible à la nature de l'anneau des coefficients, qui peut même ne pas être intègre. La théorie de Galois, elle, ne s'applique (classiquement) que dans les corps. Mais même dans les corps, la théorie de Galois ne s'applique que pour les extensions séparables (il est vrai que la mécanique galoisienne a été étendue au-delà des extensions de corps galoisiennes. Néanmoins, dans de nombreuses circonstances, utiliser ces théories reviendrait à écraser une mouche avec un gros pavé). C'est dans ces cas que le théorème des fonctions symétriques reprend ses droits.
Une partie des exemples suivants reprennent la démonstration de résultats bien connus. Ce genre de démonstrations ont généralement été abandonnées au profit de démonstrations plus théoriques (c'est une tendance constante des mathématiques modernes que celle de rechercher les concepts intrinsèques, plutôt que d'utiliser des arguments astucieux mais artificiels). Néanmoins, ces démonstrations « à l'ancienne » ont un certain charme, et illustrent le parti qu'on peut tirer du théorème fondamental des fonctions symétriques.
Exemple 1
Soient B une A-algèbre commutative et α, β1, …, βn ∈ B.
Si α est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A[β1, …, βn] et si β1, …, βn sont entiers sur A, alors α est entier sur A[12].
Ainsi, en notant C la fermeture intégrale de A dans B, c.-à-d. l'ensemble des éléments de B entiers sur A :
C est une sous-algèbre de B ;
si α est entier sur C alors α ∈ C.
Démonstration : On se ramène sans peine par récurrence au cas n = 1 (on peut même supposer que chaque βk n'est entier que sur A[β1, …, βk–1]).
Soient donc P ∈ A[X, Y], unitaire par rapport à X, tel que P(α, β) = 0, et Q ∈ A[Y], unitaire, tel que Q(β) = 0.
Écrivons Q sous la forme Q(a1, …, am, Y) où a1, …, am ∈ A et Q est le polynôme unitaire de degré m en Y universel :
Q = Ym – S1Ym–1 + … + (–1)mSm ∈ Z[S1, …, Sm, Y].
Le morphisme de substitution, de Z[S1, …, Sm] dans Z[X1, …, Xm], qui envoie (S1, …, Sm) sur (sm,1, …, sm,m), étant injectif, on peut l'assimiler à une inclusion et considérer les Sk comme égaux aux polynômes symétriques élémentaires en les Xk. Via cette identification, on a :
Q = (Y – X1)…(Y – Xm).
Notons R ∈ A[X, S1, …, Sm] le produit des P(X, Xk), puis R ∈ A[X] le polynôme R(X, a1, …, am), unitaire par construction.
Le produit des P(X, Xk) – P est à la fois de la forme QU et de la forme R + PV, avec U, V ∈ A[X, Y, S1, …, Sm]. Par substitution, on en déduit :
Tout corps de décomposition est une extension normale, c'est-à-dire que si K est un corps et L un corps de décomposition d'un polynôme à coefficients dans K alors, pour tout α ∈ L, le polynôme minimal sur K de α est scindé surL.
Démonstration : Par hypothèse, L = K(β1, …, βn), où les βi sont les racines d'un polynôme Q ∈ K[X].
Si α ∈ L, il existe donc une fraction rationnelle f telle que α = f(β1, β2, … ). Soit Π ∈ L[X] le produit de tous les monômes X – f(βσ(1), βσ(2), … ), le produit s'étendant à l'ensemble des permutations σ de Sn.
Le polynôme Π est symétrique en les βi, donc ses coefficients appartiennent en fait à K. Comme Π(α) = 0, le polynôme minimal P de α sur K divise Π.
Mais Π est scindé sur L par construction, donc P aussi.
Exemple 3
En utilisant le théorème des fonctions symétriques dans la construction de van der Waerden d'un élément primitif, on peut facilement démontrer que toute extension L d'un corps K engendré par une famille finie d'éléments séparables sur K admet un élément primitif séparable. Par ce moyen, on obtient facilement qu'une telle extension L/K est séparable (voyez « Construction de van der Waerden », démonstration et remarque).
Exemple 4
Quel est le polynôme minimal de √2 + 35√7 ? Plus généralement, on peut se poser le problème de déterminer le polynôme minimal d'une fonction rationnelle quelconque d'éléments algébriques α1, …, αn sur un corps K, dont on connaît les polynômes minimaux Pαi (ou même seulement des polynômes annulateurs).
Lorsque les degrés des équations en jeu sont suffisamment petits pour permettre des calculs de tailles raisonnables, on peut envisager l'algorithme suivant, autrement beaucoup trop lourd. Il devient vite impraticable, même pour des degrés relativement faibles, mais a le mérite d'exister.
Soit α = f(α1, …, αn) l'élément dont on recherche le polynôme minimal.
On forme le polynôme Π(X), en multipliant formellement de toutes les façons possibles les monômes X – f(α'1, …, α'n), où α'i désigne un conjugué quelconque de αi.
Puisque l'expression formelle obtenue est symétrique en chacun des groupes de conjugués, elle est fonction des fonctions symétriques élémentaires de ces conjugués, et peut être effectivement déterminée par un algorithme de décomposition en termes des fonctions symétriques élémentaires.
En remplaçant les fonctions symétriques des conjugués de αi par le coefficient correspondant du polynôme minimal de αi (affecté du signe convenable), on obtient un polynôme de K[X] qui s'annule nécessairement en α, et qu'on note encore Π.
Il s'agit ensuite de réduire Π en facteurs irréductibles sur K, ce qui nécessite un algorithme de factorisation.
Enfin, il faut déterminer lequel des facteurs irréductibles est le polynôme minimal de α ; dans le cas où K est un corps de nombres, cela peut se faire à l'aide d'approximations numériques des racines de Π.
Notes et références
↑Voir par exemple les références de (en) Ben Blum-Smith et Samuel Coskey, « The Fundamental Theorem on Symmetric Polynomials: History's First Whiff of Galois Theory », The College Mathematics Journal(en), vol. 48, no 1, , p. 18-29 (arXiv1301.7116).
↑(la) E. Waring, Meditationes algebricae, (1re éd. 1700) (lire en ligne) (problème 3, § 3).
↑(la) C. F. Gauss, « Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam… », Comment. Soc. Reg. Sc. Göttingen, vol. 3, (lire en ligne) (présenté le ). Werke, vol. 3, p. 33-56 : voir p. 36-38.
