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Le théorème de récurrence de Poincaré dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.
Soit un système dynamique mesuré, c’est-à-dire un triplet ( X , μ , ϕ ) {\displaystyle (X,\mu ,\phi )} où :
Soit A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} un sous-ensemble mesurable. Un point x ∈ X {\displaystyle x\in X} est dit récurrent par rapport à A {\displaystyle A} si
Autrement dit : x {\displaystyle x} est récurrent par rapport à A {\displaystyle A} si pour tout entier naturel p {\displaystyle p} , il existe un entier k ≥ p {\displaystyle k\geq p} tel que ϕ k ( x ) ∈ A {\displaystyle \phi ^{k}(x)\in A} , c'est-à-dire si x ∈ ∩ p ∈ N ∪ k ≥ p ϕ − k ( A ) {\displaystyle x\in \cap _{p\in \mathbb {N} }\cup _{k\geq p}\phi ^{-k}(A)} .
Soit A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} un sous-ensemble mesurable pour la mesure μ {\displaystyle \mu } . Alors, presque tous[1] les points de A {\displaystyle A} sont récurrents par rapport à A {\displaystyle A} [2],[3].
Posons U p = ∪ k ≥ p ϕ − k ( A ) {\displaystyle U_{p}=\cup _{k\geq p}\phi ^{-k}(A)} (pour tout entier naturel p {\displaystyle p} ) et U = ∩ p ∈ N U p {\displaystyle U=\cap _{p\in \mathbb {N} }U_{p}} .
Il s'agit de prouver que l'ensemble A ∖ U = ∪ p ∈ N ( A ∖ U p ) {\displaystyle A\setminus U=\cup _{p\in \mathbb {N} }\left(A\setminus U_{p}\right)} des points de A {\displaystyle A} non récurrents par rapport à A {\displaystyle A} est de mesure nulle[4], c'est-à-dire (puisqu'il s'agit d'une union dénombrable) que chaque A ∖ U p {\displaystyle A\setminus U_{p}} est de mesure nulle.
De U p + 1 = ϕ − 1 ( U p ) {\displaystyle U_{p+1}=\phi ^{-1}(U_{p})} et μ [ ϕ − 1 ( U p ) ] = μ ( U p ) {\displaystyle \mu \left[\phi ^{-1}(U_{p})\right]=\mu (U_{p})} , on déduit que tous les U p {\displaystyle U_{p}} ont même mesure.
On conclut en utilisant que A {\displaystyle A} et U p {\displaystyle U_{p}} sont inclus dans U 0 {\displaystyle U_{0}} :
Le théorème a été publié par Poincaré en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique[5]. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite. L'histoire de ce mémoire est célèbre[6].
François Béguin, « Le théorème de récurrence de Poincaré », sur Images des maths, 20 avril 2012