Théorème de Bernstein (polynômes)

Le théorème de Bernstein est une inégalité reliant le maximum du module d'une fonction polynomiale complexe sur le disque unitaire avec le maximum du module de sa dérivée sur le disque unitaire. Ce résultat a été prouvé par Sergueï Bernstein alors qu'il travaillait sur la théorie de l'approximation[1].

Énoncé[2]

On note le module maximum d'une fonction arbitraire sur et on désigne par sa dérivée. Alors pour chaque polynôme à coefficients complexes de degré , on a :

L'inégalité est la meilleure possible, puisqu'il y a égalité si et seulement si :


Preuve

Soit un polynôme de degré et soit un autre polynôme du même degré sans zéros dans . Nous montrons d'abord que si sur , alors sur .

Par le théorème de Rouché, le polynôme avec a tous ses zéros dans le disque unité. En vertu du théorème de Gauss-Lucas, a tous ses zéros dans . Il s'ensuit que sur , sinon on pourrait choisir un avec tel que ait un zéro dans .

Pour un polynôme arbitraire de degré , nous obtenons alors le théorème de Bernstein en appliquant le résultat ci-dessus au polynôme , où est une constante arbitraire dépassant .

L'inégalité de Bernstein

En analyse mathématique, l'inégalité de Bernstein énonce que sur le plan complexe, dans le disque de rayon 1, le degré d'un polynôme multiplié par la valeur maximale d'un polynôme est une majoration de ce même maximum pour sa dérivée. Prenant la "k- ème dérivée" du théorème, on obtient

Résultats similaires

Paul Erdős a conjecturé que si n'a pas de zéros dans , alors . Cela a été prouvé par Peter Lax[3].

M. A. Malik a montré que si n'a pas de zéros dans pour un donné, alors [4] .

Références

  1. R. P. Boas, Jr., Inequalities for the derivatives of polynomials, Math. Mag. 42 (1969), 165–174.
  2. M. A. Malik et M. C. Vong, « Inequalities concerning the derivative of polynomials », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Circolo Matematico di Palermo, vol. 34, no 3,‎ , p. 422–426 (ISSN 0009-725X et 1973-4409, DOI 10.1007/bf02844535, lire en ligne, consulté le )
  3. P. D. Lax, Proof of a conjecture of P. Erdös on the derivative of a polynomial, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 509–513.
  4. M. A. Malik, On the derivative of a polynomial J. London Math. Soc (2) 1 (1969), 57–60.

Bibliographie

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