En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.
Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».
Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes f : G → G ′ {\displaystyle f:G\to G'} , on peut rendre f {\displaystyle f} injectif en quotientant G {\displaystyle G} par son noyau Ker f, qui est un sous-groupe normal de G.
Premier théorème d'isomorphisme[1] — Soit f : G → G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G'} un morphisme de groupes. Alors f {\displaystyle f} induit un isomorphisme f ^ : G / Ker f → Im f {\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f} .
Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme f {\displaystyle f} se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.
Deuxième théorème d'isomorphisme[2] — Soient G {\displaystyle G} un groupe, N {\displaystyle N} un sous-groupe normal de G {\displaystyle G} et H {\displaystyle H} un sous-groupe de G {\displaystyle G} . Alors H ∩ N {\displaystyle H\cap N} est un sous-groupe normal de H {\displaystyle H} , et on a l'isomorphisme suivant :
La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de N {\displaystyle N} contient H {\displaystyle H} (au lieu de le supposer égal à G {\displaystyle G} tout entier).
Troisième théorème d'isomorphisme[3] — Soient G {\displaystyle G} un groupe et N {\displaystyle N} et M {\displaystyle M} deux sous-groupes normaux de G {\displaystyle G} tels que M {\displaystyle M} soit inclus dans N {\displaystyle N} . Alors N / M {\displaystyle N/M} est un sous-groupe normal de G / M {\displaystyle G/M} et on a l'isomorphisme suivant :
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4