Théorèmes A et B de Cartan

En mathématiques, les théorèmes A et B de Cartan sont deux résultats de Henri Cartan démontrés vers 1951, concernant un faisceau cohérent (en) F sur une variété de Stein X . Ils sont significatifs à la fois lorsqu'ils sont appliqués aux fonctions de plusieurs variables complexes et dans le développement général de la cohomologie des faisceaux.

Théorème A — F est un faisceau généré par ses sections globales.

Le théorème B est énoncé en termes cohomologiques (une formulation que Cartan (1953, p. 51) attribue à J.-P. Serre):

Théorème B — ${\displaystyle H^{p}(X,F)=0}$ pour tout p > 0.

Des propriétés analogues ont été établies par Serre (1957) pour les faisceaux cohérents en géométrie algébrique, lorsque X est un schéma affine. L'analogue du théorème B dans ce contexte est le suivant (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7) :

Théorème B (analogue schématique) — Soit X un schéma affine, F un faisceau quasi-cohérent de O_X - modules pour la topologie de Zariski sur X. Alors ${\displaystyle H^{p}(X,F)=0}$ pour tout p > 0.

Ces théorèmes ont de nombreuses applications. Par exemple, ils impliquent qu'une fonction holomorphe sur une sous-variété complexe fermée Z, d'une variété Stein X peut être étendue à une fonction holomorphe sur X. Ces théorèmes ont été utilisés par Jean-Pierre Serre pour prouver le théorème GAGA.

Le théorème B est optimal dans le sens où si ${\displaystyle H^{p}(X,F)=0}$ pour tous faisceaux cohérents F et p > 0 sur une variété complexe X (resp. faisceaux quasi-cohérents F sur un schéma noéthérien X ), alors X est Stein (resp. affine); voir (Serre 1956) (resp. (Serre 1957) et (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7)).

Notes et références

• H. Cartan, Variétés analytiques complexes et cohomologie, 1953, 41–55 p. (zbMATH 0053.05301).
• Robert C. Gunning et Hugo Rossi, Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice Hall, 1965 (ISBN 9780821821657, DOI 10.1090/chel/368).
• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, vol. 52, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1977 (ISBN 978-0-387-90244-9, DOI 10.1007/978-1-4757-3849-0, MR 0463157, zbMATH 0367.14001, Algebraic Geometry sur Google Livres).
• Jean-Pierre Serre, Géométrie algébrique et géométrie analytique, vol. 6, 1956, 1–42 p. (ISSN 0373-0956, DOI 10.5802/aif.59 , MR 0082175, lire en ligne)
• Jean-Pierre Serre, Sur la cohomologie des variétés algébriques, vol. 36, 1957, 1–16 p. (zbMATH 0078.34604)
  • Jean-Pierre Serre, Oeuvres - Collected Papers I: 1949 - 1959, 2 décembre 2013, 469–484 p. (ISBN 978-3-642-39815-5, Oeuvres - Collected Papers I: 1949 - 1959 sur Google Livres), « 35. Sur la cohomologie des variétés algébriques »

Articles connexes

• Problèmes de Cousin