Température inverse

La température inverse, notée β et parfois dite bêta thermodynamique, est une grandeur physique utilisée en physique statistique. Elle est reliée à la température T d'un système par β = 1/(kT), où k est la constante de Boltzmann^[1],[2]. Son unité est le J^-1.

Interprétation

Physique statistique

On considère un système composé deux sous-systèmes, d'énergies E₁ et E₂. Le nombre de micro-états du système peut s'écrire en fonction de ceux des sous-systèmes :

${\displaystyle \Omega (E_{1}+E_{2})=\Omega (E_{1})\times \Omega (E_{2})}$.

Cette relation est caractéristique de la fonction exponentielle et pousse à poser

${\displaystyle \Omega (E)\propto \exp -\beta E}$,

où β est à relier à la température du système lorsqu'il est à l'équilibre thermodynamique^[3].

Une autre version de l'interprétation utilise le fait que Ω est maximum à l'équilibre thermodynamique, ainsi que la relation E = E₁+E₂ pour un système isolé. Dès lors,

${\displaystyle 0={\frac {{\text{d}}\Omega _{1}}{{\text{d}}E_{1}}}\Omega _{2}+\Omega _{1}{\frac {{\text{d}}\Omega _{2}}{{\text{d}}E_{1}}}}$

ce qui, avec dE₁ = −dE₂, donne

${\displaystyle {\frac {1}{\Omega }}_{1}{\frac {{\text{d}}\Omega _{1}}{{\text{d}}E_{1}}}={\frac {1}{\Omega }}_{2}{\frac {{\text{d}}\Omega _{2}}{{\text{d}}E_{2}}}}$.

Cela motive l'écriture d'un paramètre

${\displaystyle \beta ={\frac {{\text{d}}\log \Omega }{{\text{d}}E}}}$

qui est relié à la température, car à l'équilibre β₁ = β₂.

[réf. nécessaire]

Formulaire

Principales relations entre la température inverse et les variables d'un système.

Contexte	Formule	Notations
Thermodynamique Théorie cinétique des gaz Physique statistique[1]	${\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$	T : température k : constante de Boltzmann
Ensemble microcanonique[1]	${\displaystyle \beta ={\frac {{\text{d}}\log \Omega }{{\text{d}}E}}}$	Ω : nombre de micro-états E : énergie du système.
Ensemble canonique[4]	${\displaystyle E={\frac {{\text{d}}\log Z}{{\text{d}}\beta }}}$	E : énergie Z : fonction de partition
Thermodynamique[5]	${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k}}\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V,n}}$	S : entropie U : énergie interne V : volume n : quantité de matière k : constante de Boltzmann

Sources

Bibliographie

• Dietrich Stauffer, H. E. Stanley, Annick Lesne (trad. de l'anglais), Cours de Physique : De Newton à Mandelbrot, Paris/Berlin/Heidelberg etc., Springer, 1999, 364 p. (ISBN 2-287-59674-7, lire en ligne)

Références

1. (en) Eric W. Weisstein (dir.), « Thermodynamic Beta », sur Science World
2. (fr) Stauffer et al. (1999), p. 164
3. (fr) Stauffer et al. (1999), p. 166 (l'argument original utilise la densité de probabilité)
4. (en) Michael Plischke et Birger Bergersen, Equilibrium Statistical Physics, Singapour, World Scientific, 2005, 620 p. (ISBN 981-256-048-3, lire en ligne), p. 39
5. (fr) Stauffer et al. (1999), p. 173 (la formule originale utilise 1/T)

Annexes

Articles connexes

• Grandeurs physiques reliées : Température ~ Constante de Boltzmann
• Concepts qui l'utilisent : Distribution de Boltzmann ~ Ensemble micro-canonique ~ Ensemble canonique