Système linéaire à paramètres variants

Un système linéaire à paramètres variant (ou système LPV), est un système non-linéaire décrit à l'aide de la représentation d'état d'un ensemble de systèmes linéaires interpolés entre-eux. Cette interpolation s'effectue par l'intermédiaire d'un paramètre dit de séquencement, constitué de variables qui peuvent être exogènes ou endogènes au système. Dans le cas endogène, on parle de système quasi-LPV (ou qLPV). Le paramètre de séquencement est généralement supposé mesurable ou estimable en temps-réel^[1]. Ce mode de représentation est particulièrement utile pour synthétiser des lois de commande par séquencement de gain^[2].

Représentation d'état

En automatique, un système LPV, de dimension finie est donné par la représentation d'état suivante :

${\displaystyle {\begin{cases}\delta x(t)&=&A(\theta )x(t)+B(\theta )u(t)\\y(t)&=&C(\theta )x(t)+D(\theta )u(t)\end{cases}}}$

avec :

${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n_{x}}}$ : un vecteur colonne qui représente les ${\displaystyle n_{x}}$ variables d'état ;

${\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{n_{u}}}$ : un vecteur colonne qui représente les ${\displaystyle n_{u}}$ commandes ;

${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{n_{y}}}$ : un vecteur colonne qui représente les ${\displaystyle n_{y}}$ sorties ;

${\displaystyle A(\theta )\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{x}}}$ : la matrice d'état ;

${\displaystyle B(\theta )\in \mathbb {R} ^{n_{x}\times n_{u}}}$ : la matrice de commande (ou matrice d'entrée) ;

${\displaystyle C(\theta )\in \mathbb {R} ^{n_{y}\times n_{x}}}$ : la matrice d'observation (ou matrice de sortie) ;

${\displaystyle D(\theta )\in \mathbb {R} ^{n_{y}\times n_{u}}}$ : la matrice d'action directe.

et où ${\displaystyle \delta x(t)}$ dénote ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ ou ${\displaystyle x(t+1)}$ suivant le contexte temps-continu ou temps-discret. Le paramètre de séquencement (ou d'interpolation) ${\displaystyle \theta \in \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{n_{\theta }}}$ est un signal composé des variables de séquencement, et dont la dynamique n'est généralement pas connu à l'avance. La dynamique de ce paramètre change la représentation d'état du système en temps-réel. Dans le cas quasi-LPV, ce paramètre dépend généralement de l'état ${\displaystyle x}$ du système.

Lorsque la représentation d'état dépend de manière affine du paramètre ${\displaystyle \theta }$, et que l'espace des paramètres ${\displaystyle \Theta }$ est un polytope borné, on parle de système LPV polytopique^[3].

Références

1. Philippe Chevrel, « Tutoriel : la commande LPV », GDR MACS, journées du GT MOSAR,‎ septembre 2007 (lire en ligne, consulté le 2 juillet 2024)
2. (en) S.M Shahruz et S Behtash, « Design of controllers for linear parameter-varying systems by the gain scheduling technique », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 168, n^o 1,‎ juillet 1992, p. 195–217 (DOI 10.1016/0022-247X(92)90199-N, lire en ligne, consulté le 2 juillet 2024)
3. Anh Lam Do, « Approche LPV pour la commande robuste de la dynamique des véhicules : amélioration conjointe du confort et de la sécurité », Thèse, Université de Grenoble,‎ 14 octobre 2011 (lire en ligne, consulté le 2 juillet 2024)

Voir aussi

Article connexe

• Système linéaire

Bibliographie

• Briat, Corentin, Linear Parameter-Varying and Time-Delay Systems - Analysis, Observation, Filtering & Control, Springer Verlag Heidelberg, 2015 (ISBN 978-3-662-44049-0)