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[[Structure de groupe et axiome du choix]]
En mathématiques, un groupe est un ensemble muni d'une opération binaire appelée multiplication, satisfaisant les axiomes de groupe. L'axiome du choix est un axiome de la théorie ZFC qui équivaut à ce que tout ensemble puisse être bien ordonné.
Dans ZF, c'est-à-dire ZFC sans l'axiome du choix, les énoncés suivants s'équivalent :
Un ensemble fini peut toujours être muni d'une structure de groupe cyclique, engendré par n'importe quel élément ; cela ne dépend pas de l'axiome du choix. La question se pose surtout pour les ensembles infinis.
L'axiome du choix implique que si X {\displaystyle X} est infini, l'ensemble P f ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{f}(X)} de ses parties finies a le même cardinal que X {\displaystyle X} . Or P f ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{f}(X)} , muni de la différence symétrique, est un groupe, donc par transport de structure (en) X {\displaystyle X} aussi. On peut également utiliser F X {\displaystyle \mathbb {F} _{X}} , le groupe libre sur X {\displaystyle X} , qui est en bijection avec X {\displaystyle X} sous l'axiome du choix.
On peut aussi voir ce résultat comme une conséquence du théorème de Löwenheim-Skolem, qui montre que la théorie des groupes possède des modèles de toute cardinalité.
Dans cette section, on suppose que tout ensemble X non-vide peut être muni d'une structure de groupe (X, •).
Soit X un ensemble. Soit ℵ(X) l'ordinal de Hartogs de X. C'est le plus petit cardinal tel qu'il n'y ait pas d'injection de ℵ(X) dans X ; il existe sans l'axiome du choix. Supposons par l'absurde que X ne soit pas en bijection avec un ordinal (ce qui est la négation du théorème de Zermelo). Soit • une opération qui fait de (X ∪ ℵ(X), •) un groupe.
Montrons que pour tout x ∈ X il existe un α ∈ ℵ(X) tel que x • α ∈ ℵ(X). En effet, par l'absurde, si ce n'est pas le cas il existe un y ∈ X tel que y • α ∈ X pour tout α ∈ ℵ(X). Mais les y • α sont tous distincts lorsque α parcourt ℵ(X). Aussi, un tel y donne une injection de ℵ(X) dans X, ce qui est absurde par définition de ℵ(X).
Définissons maintenant une application j de X dans ℵ(X) × ℵ(X), muni de l'ordre lexicographique, en envoyant x ∈ X sur le plus petit couple (α, β) ∈ ℵ(X) × ℵ(X) tel que x • α = β. Une telle application j est unique et injective. Enfin, définissons un bon ordre sur X par x < y si j(x) < j(y). Alors X est bien ordonné, ce qui est une contradiction[1],[2].
Remarque : dans cette preuve, on aurait pu remplacer la structure de groupe par celle de quasigroupe.
Il existe des modèles de ZF dans lesquels l'axiome du choix est faux[3]. Dans un tel modèle, il existe des ensembles qui ne peuvent pas être bien ordonnés ; soit X un tel ensemble. Considérons maintenant l’ensemble Y = X ∪ ℵ(X). Alors Y ne possède pas de une structure de groupe, car sinon X pourrait être bien ordonné.
Si un ensemble ne peut pas être muni d'une structure de groupe, alors il ne peut pas non plus être bien ordonnable ; cependant, ces propriétés ne sont pas équivalentes. En effet, il existe des ensembles qui ne peuvent pas être bien ordonnés, tout en ayant une structure de groupe. Par exemple, si X {\displaystyle X} est un ensemble quelconque, alors P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} possède une structure de groupe, donnée par l'opération différence symétrique. Mais X {\displaystyle X} ne peut pas être bien ordonné, donc P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} non plus.
Un exemple intéressant d’ensembles qui n'admettent pas de structure de groupe est celui des ensembles X {\displaystyle X} vérifiants :
Pour voir que ces deux conditions impliquent que X {\displaystyle X} ne peut pas admettre une structure de groupe, remarquons que toute permutation de X {\displaystyle X} a ses orbites finies, et que presque toutes sont des singletons. Cela montre que presque tous les éléments sont fixés par la permutation. Si X {\displaystyle X} peut être muni d'une structure de groupe, on dispose de la permutations x ↦ a ⋅ x {\displaystyle x\mapsto a\cdot x} pour a {\displaystyle a} non neutre. Il existe au moins un x {\displaystyle x} tel que a x = x {\displaystyle ax=x} , et donc a {\displaystyle a} est l'élément neutre, absurde.