Structure de Hodge

En mathématiques, une structure de Hodge, du nom de William Hodge, vise à généraliser les données issues de la théorie de Hodge dans le cas d'une variété kählérienne lisse et compacte. Les structures de Hodge ont été généralisées à toutes les variétés complexes (même singulières et incomplètes) sous la forme de structures de Hodge mixtes (en), définies par (Deligne 1970). Une variation de structure de Hodge est une famille de structures de Hodge paramétrées par une variété, étudiée pour la première fois par (Griffiths 1968). Tous ces concepts ont ensuite été généralisés aux modules de Hodge mixtes sur des variétés complexes par (Saito 1989).

Structures de Hodge

Une structure de Hodge pure de poids entier n est la donnée d'un groupe abélien ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ et d'une décomposition de sa complexification H en une somme directe de sous-espaces complexes ${\displaystyle H^{p,q}}$, où ${\displaystyle p+q=n}$, avec la propriété que le complexe conjugué de ${\displaystyle H^{p,q}}$ est ${\displaystyle H^{q,p}}$ :

${\displaystyle H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},}$

${\displaystyle {\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.}$

Une définition équivalente est obtenue en remplaçant la décomposition en somme directe de H par la filtration de Hodge, une filtration finie décroissante de H par des sous-espaces complexes ${\displaystyle F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),}$ avec la condition

${\displaystyle \forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{ et}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.}$

La relation entre ces deux descriptions est donnée par :

${\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},}$

${\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.}$

Par exemple, si X est une variété kählérienne compacte, ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )}$ est le n-ième groupe de cohomologie de X à coefficients entiers, alors ${\displaystyle H=H^{n}(X,\mathbb {C} )}$ est son n-ième groupe de cohomologie à coefficients complexes et la théorie de Hodge fournit la décomposition de H en une somme directe comme ci-dessus, de sorte que ces données définissent une structure de Hodge pure de poids n.

Pour les applications en géométrie algébrique, à savoir la classification des variétés projectives complexes par leurs périodes, l'ensemble de toutes les structures de Hodge de poids n sur ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ est trop grossier. On précise une donnée supplémentaire.

Une structure de Hodge polarisée de poids n est constituée d'une structure de Hodge ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})}$ et d'une forme bilinéaire entière non dégénérée Q sur ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ (polarisation), qui s'étend à H par linéarité, et satisfaisant :

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi );\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ pour }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ pour }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}}$

En termes de filtration de Hodge, ces conditions impliquent que

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ pour }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}}$

où C est l'opérateur de Weil sur H, donné par ${\displaystyle C=i^{p-q}}$ sur ${\displaystyle H^{p,q}}$.

Variation de structure de Hodge

Une variation de structure de Hodge (Griffiths 1968, Griffiths 1968a, Griffiths 1970) est une famille de structure de Hodge paramétrisée par une variété complexe X. C'est la donnée d'un faisceau en groupes localement constant S de type fini sur X, ainsi qu'une filtration de Hodge décroissante F sur S⊗O_X, telle que :

• la filtration induise une structure de Hodge de poids n sur S ;
• (transversalité de Griffiths) la connexion naturelle de S⊗O_X envoie ${\displaystyle F^{n}}$ dans ${\displaystyle F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.}$

La « connexion naturelle » de S⊗O_X induit par les connexions plates sur S et d sur O_X, et O_X est le faisceau holomorphe structural X, et ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$ est le faisceau des 1-formes sur X. Cette connexion plate est la connexion de Gauss-Manin ∇ et peut être décrite à l'aide des équations de Picard–Fuchs.

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hodge structure » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

Ouvrages introductifs

• (en) Donu Arapura, Complex Algebraic Varieties and their Cohomology, 120-123 p. (lire en ligne [archive du 4 janvier 2020]) (fournit des outils pour le calcul des nombres de Hodge à partir de la cohomologie des faisceaux)
• (en) Donu Arapura, Mixed Hodge Structures Associated to Geometric Variations, 2006 (DOI 10.48550/arXiv.math/0611837, Bibcode 2006math.....11837A, arXiv math/0611837, lire en ligne)
• (en) Olivier Debarre, « Periods and Moduli », dans Lucia Caporaso, James McKernan, Mircea Mustață et Mihnea Popa (éd.), Current Developments in Algebraic Geometry, Cambridge University Press, coll. « Mathematical Sciences Research Institute Publications » (n^o 59), 2014, 438 p. (ISBN 9781107459465), p. 65-84
• (en) Alexandru Dimca (en), Singularities and Topology of Hypersurfaces, New York, Springer-Verlag, coll. « Universitext », 1992, xvi+263 (ISBN 0-387-97709-0, ISSN 0172-5939, DOI 10.1007/978-1-4612-4404-2, MR 1194180, S2CID 117095021), p. 240, 261
• Alan H. Durfee, « A Naive Guide to Mixed Hodge Theory », novembre 1980, 16 p. (version du 4 novembre 2018 sur Internet Archive)

Autres articles et ouvrages

• Pierre Deligne, « Travaux de Griffiths », dans Séminaire Bourbaki : exposé 376, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 180), 1971b, p. 213-235
• Pierre Deligne, « Théorie de Hodge. I », dans Actes du congrès international des mathématiciens (Nice, 1970), vol. 1, Gauthier-Villars, 1971, 532 p. (MR 0441965, lire en ligne [archive du 2 avril 2015]), p. 425-430
• Pierre Deligne, « Théorie de Hodge. II », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 40,‎ 1971a, p. 5-57 (MR 0498551, lire en ligne)
• Pierre Deligne, « Théorie de Hodge. III », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 44,‎ 1974, p. 5-77 (MR 0498552, lire en ligne)
• (en) Pierre Deligne, « Structures de Hodge mixtes réelles », dans Motives (Seattle, WA, 1991), Part 1, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Proceedings of Symposia in Pure Mathematics » (n^o 55), 1994 (ISBN 978-0-8218-1636-3, DOI 10.1090/pspum/055.1, MR 1265541, lire en ligne), p. 509-514
• (en) Pierre Deligne et James Milne, « Tannakian categories », dans Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shih, Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 900), 1982, ix+417 p. (ISBN 978-3-540-11174-0, DOI 10.1007/978-3-540-38955-2, lire en ligne), p. 101-228.
• (en) Phillip Griffiths, « Periods of integrals on algebraic manifolds I (Construction and Properties of the Modular Varieties) », American Journal of Mathematics, vol. 90, n^o 2,‎ 1968, p. 568-626 (DOI 10.2307/2373545, JSTOR 2373545)
• (en) Phillip Griffiths, « Periods of integrals on algebraic manifolds II (Local Study of the Period Mapping) », American Journal of Mathematics, vol. 90, n^o 3,‎ 1968a, p. 808-865 (DOI 10.2307/2373485, JSTOR 2373485)
• (en) Phillip Griffiths, « Periods of integrals on algebraic manifolds III. Some global differential-geometric properties of the period mapping. », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 38,‎ 1970, p. 228-296 (DOI 10.1007/BF02684654, S2CID 11443767, lire en ligne)
• (en) Mikhail Kapranov, « Real mixed Hodge structures », Journal of Noncommutative Geometry, vol. 6, n^o 2,‎ 2012, p. 321-342 (DOI 10.4171/jncg/93, MR 2914868, arXiv 0802.0215, S2CID 56416260)
• (en) Alexander I. Ovseevich, « Hodge structure », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) Stefan Patrikis, « Mumford-Tate groups of polarizable Hodge structures », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 144, n^o 9,‎ 2016, p. 3717-3729 (DOI 10.1090/proc/13040, MR 3513533, arXiv 1302.1803, S2CID 40142493)
• (en) Morihiko Saito, « Introduction to mixed Hodge modules », dans Actes du colloque de théorie de Hodge (Luminy, 1987), Société mathématique de France, coll. « Astérisque » (n^o 179-180), 1989 (MR 1042805), p. 145-162
• (en) Christian Schnell, « An Overview of Morihiko Saito's Theory of Mixed Hodge Modules : A Tribute to Wilfried Schmid », dans Stephen D. Miller et Shing-Tung Yau, Representation Theory, Automorphic Forms & Complex Geometry, 28 février 2020, 306 p. (ISBN 978-1-57146-362-3, arXiv 1405.3096, lire en ligne), p. 27-80
• (en) Joseph H. M. Steenbrink, « Variation of Hodge structure », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• Claire Voisin, Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe, Paris-Marseille, Société mathématique de France, coll. « Cours spécialisés » (n^o 10), 2002, viii+595 p. (ISBN 2-85629-129-5, ISSN 1284-6090)